Calcule as derivadas das funções a seguir usando as regras de derivação estudadas e simplifique quando possível:
f(x)=x arctg(x)+2^x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a derivada da função f(x) = x cdot arctan(x) + 2^x^3 . Para isso, vamos usar as regras de derivação que estudamos, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte x cdot arctan(x) . Aqui, usamos a regra do produto, que diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, u(x) cdot v(x) , a derivada é u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) .
Então, definimos:
  • u(x) = x com u'(x) = 1
  • v(x) = arctan(x) com v'(x) = 11 + x^2 (essa é a derivada da função arco-tangente)
Aplicando a regra do produto:
ddx(x cdot arctan(x)) = 1 cdot arctan(x) + x cdot 11 + x^2 = arctan(x) + x1 + x^2

Passo 3

Agora, vamos derivar a parte 2^x^3 . Aqui, usamos a regra da cadeia e a derivada de funções exponenciais com base diferente de e .
A derivada de a^g(x) em relação a x é:
ddx(a^g(x)) = a^g(x) cdot ln(a) cdot g'(x)
onde a = 2 e g(x) = x^3 . Então:
  • g'(x) = 3x^2
Aplicando a fórmula:
ddx(2^x^3) = 2^x^3 cdot ln(2) cdot 3x^2 = 3x^2 ln(2) cdot 2^x^3

Resposta

Juntando as duas partes derivadas, a derivada de f(x) é:
f'(x) = arctan(x) + x1 + x^2 + 3x^2 ln(2) cdot 2^x^3

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