Responda:
Defina a derivada de uma função f num ponto p. Interprete-a. E em seguida calcule f^prime(3), pela definição, para f(x)=raizx.

Passo 1

O enunciado pede para definir a derivada de uma função f em um ponto p, interpretar esse conceito e depois, usando a definição, calcular f'(3) para f(x)=raizx. O conteúdo envolve limites de quocientes de diferença e a interpretação geométrica e física da derivada.

Passo 2

A derivada de f em p é dada por
f'(p)=limhto0f(p+h)-f(p)h,
se este limite existir. Geometricamente, f'(p) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em x=p. Fisicamente, representa a taxa de variação instantânea de f em p.

Passo 3

Para f(x)=raizx, temos
f'(3)=limhto0raiz3+h-raiz3h

Passo 4

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por raiz3+h+raiz3:
raiz3+h-raiz3hcdotraiz3+h+raiz3raiz3+h+raiz3 =(3+h)-3hl(raiz3+h+raiz3r) =hhl(raiz3+h+raiz3r) =1raiz3+h+raiz3
Agora basta tomar hto0:
f'(3)=limhto01raiz3+h+raiz3 =1raiz3+raiz3 =12raiz3

Resposta

12raiz3

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