Trabalho de uma força.
Quando um corpo percorre uma distância d ao longo de uma reta como resultado da aplicação de uma força de intensidade constante F na direção do movimento, calculamos o trabalho W realizado pela força sobre o corpo usando a fórmula: W=F.
Porém, se a força aplicada varia com o tempo ao longo do trajeto a fórmula acima deve ser substituída por uma integral que leve em consideração a variação de F, conforme a definição abaixo.
DEFINIÇÃO O trabalho realizado por uma variável força F(x) na direção do eixo x, de x=a a x=b, é
W=integrala^b F(x) d x
Usando a definição acima, podemos calcular o trabalho realizado por uma força F(x)=1 / x^2 (em Newton) ao longo do eixo x, de x=1 m até x=1 0 m. Qual é o valor desse trabalho?
0,5 J
0,7 J
0,9 J
1,1 J

Passo 1

O enunciado nos apresenta um problema de trabalho realizado por uma força variável. Precisamos calcular o trabalho realizado pela força $ F(x) = \frac{1}{x^{2}} $ (em Newtons) ao longo do eixo $ x $, desde $ x = 1 , m $ até $ x = 10 , m $. Para resolver isso, vamos usar a definição de trabalho realizado por uma força variável, que envolve o cálculo de uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para o trabalho $ W $ realizado por uma força variável ao longo de um deslocamento de $ x = a $ até $ x = b $:
W
Aqui, $ F(x) = \frac{1}{x^{2}} $ N, $ a = 1 , m $ e $ b = 10 , m $.

Passo 3

Substituímos $ F(x) $ e os limites de integração na fórmula:
F(x)
Agora, precisamos calcular essa integral definida.

Passo 4

Vamos calcular a integral $ \int \frac{1}{x^{2}} , dx $. Sabemos que:
integral 1x^2 , dx
Nesse caso, $ n = -2 $:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1)

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 10:
W = [ -1x ]1^10 = ( -110 ) - ( -11 ) = -0,1 + 1 = 0,9 , J

Resposta

O trabalho realizado pela força é 0,9 J.

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