Aplique o teorema da convolução para encontrar a transformada de Laplace inversa das funções:
F(s)=s^2(s^2+4^2)^2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa de
F(s)=s^2(s^2+4^2)^2
e recomenda usar o Teorema da Convolução, que afirma que
se F(s)=F1(s),F2(s) então
f(t)=L^-1F(s) =(f1ast f2)(t) =integral0^tf1(tau),f2(t-tau),dtau,
onde fi(t)=L^-1Fi(s).

Passo 2

Observe que
s^2(s^2+16)^2 =ss^2+16;cdot;ss^2+16
Logo podemos tomar
F1(s)=ss^2+16, F2(s)=ss^2+16

Passo 3

Sabemos que
L^-1lss^2+16r=cos(4t)
Portanto f1(t)=f2(t)=cos(4t).

Passo 4

Pelo Teorema da Convolução,
f(t) =integral0^tcos(4tau),cosl(4,(t-tau)r),dtau

Passo 5

Use a identidade trigonométrica
cos A,cos B =tfrac12l[cos(A-B)+cos(A+B)r]
Com A=4tau e B=4(t-tau) temos
cos(4tau)cosl(4(t-tau)r) =tfrac12l[cos(8tau-4t)+cos(4t)r]
Então
f(t) =12integral0^tl[cos(8tau-4t)+cos(4t)r],dtau

Passo 6

Calcule cada integral separadamente:
integral0^tcos(8tau-4t),dtau =18l[sin(8tau-4t)r]0^t =18l(sin(4t)-sin(-4t)r) =14sin(4t),
integral0^tcos(4t),dtau =t,cos(4t)
Logo
f(t) =12l(tfrac14sin(4t)+tcos(4t)r) =18sin(4t)+t2cos(4t)

Resposta

L^-1!ls^2(s^2+4^2)^2r =t2cos(4t)+18sin(4t)

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