Determine o limite, caso exista:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^3-x y^2x^3+y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, x e y, quando elas se aproximam de zero. A matéria que envolve isso é o cálculo de limites multivariáveis. Para resolver, vamos precisar entender como funciona o comportamento da função quando x e y se aproximam de zero por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
x^3 - x y^2x^3 + y^3
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando (x, y) to (0, 0).

Passo 3

Uma maneira de verificar se o limite existe é estudar o comportamento da função ao se aproximar de (0,0) por diferentes caminhos. Se o resultado do limite for o mesmo independente do caminho escolhido, então o limite existe. Caso contrário, o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar escolhendo o caminho onde y = 0 . Substituindo na função:
x^3 - x cdot 0^2x^3 + 0^3 = x^3x^3 = 1
Então, pelo caminho y = 0 , o limite é 1.

Passo 5

Agora, vamos escolher outro caminho para ver se o limite é o mesmo. Por exemplo, vamos deixar x = 0 . Substituindo:
0^3 - 0 cdot y^20^3 + y^3 = 0y^3 = 0
Pelo caminho x = 0 , o limite é 0.

Passo 6

Como obtivemos resultados diferentes (1 e 0) ao escolher caminhos diferentes para (x, y) se aproximando de (0,0), isso indica que o limite depende do caminho seguido.

Resposta

O limite não existe.

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