Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
Determine a direção do objeto no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço:
O que precisamos fazer é descobrir em qual direção o objeto está se movendo exatamente quando
. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de velocidade vetorial, que nos dá a direção e a rapidez do movimento do objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial, que é a derivada da função posição
em relação ao tempo
. Ou seja, vamos derivar cada componente da função vetorial:
Calculando cada derivada:
- Para
, lembrando que , a derivada é:
- Para
, a derivada é:
- Para
, a derivada é simplesmente:
Então, a velocidade vetorial fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a velocidade vetorial no instante
:
Passo 4
Para encontrar a direção do movimento, precisamos transformar a velocidade vetorial em um vetor unitário. Primeiro, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor
:
Passo 5
Agora, dividimos cada componente da velocidade vetorial pelo seu módulo para obter o vetor unitário na direção do movimento:
Resposta
A direção do objeto no instante
é dada pelo vetor unitário: