Supondo que o percurso de um objeto no espaço é descrito pela função vetorial
r(t)=(4 raizt, t^2, 2 t)
Determine a direção do objeto no instante t=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial que descreve o movimento de um objeto no espaço:
r(t) = (4 raizt, t^2, 2 t)
O que precisamos fazer é descobrir em qual direção o objeto está se movendo exatamente quando t = 1 . Para isso, vamos trabalhar com o conceito de velocidade vetorial, que nos dá a direção e a rapidez do movimento do objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade vetorial, que é a derivada da função posição r(t) em relação ao tempo t . Ou seja, vamos derivar cada componente da função vetorial:
v(t) = dr(t)dt = (ddt(4 raizt), ddt(t^2), ddt(2 t))
Calculando cada derivada:
  • Para 4 raizt , lembrando que raizt = t^1/2 , a derivada é:
ddt(4 t^1/2) = 4 cdot 12 t^-1/2 = 2raizt
  • Para t^2 , a derivada é:
ddt(t^2) = 2 t
  • Para 2 t , a derivada é simplesmente:
ddt(2 t) = 2
Então, a velocidade vetorial fica:
v(t) = (2raizt, 2 t, 2)

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade vetorial no instante t = 1 :
v(1) = (2raiz1, 2 cdot 1, 2) = (2, 2, 2)

Passo 4

Para encontrar a direção do movimento, precisamos transformar a velocidade vetorial em um vetor unitário. Primeiro, vamos calcular o módulo (ou comprimento) do vetor v(1) :
|v(1)| = raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3

Passo 5

Agora, dividimos cada componente da velocidade vetorial pelo seu módulo para obter o vetor unitário na direção do movimento:
u = v(1)|v(1)| = (22raiz3, 22raiz3, 22raiz3) = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)

Resposta

A direção do objeto no instante t = 1 é dada pelo vetor unitário:
u = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)

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