Determine a resposta correta para o limite
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x y+1x^2+y^2+2

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) longrightarrow(0,0) x y+1x^2+y^2+2.
Esse exercício pertence ao estudo de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando as variáveis x e y se aproximam de zero. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador à medida que (x, y) se aproxima de (0,0).
  • Numerador: xy + 1
    Quando x e y se aproximam de zero, o termo xy tende a zero (porque qualquer número multiplicado por zero é zero). Então, o numerador fica:
xy + 1 approx 0 + 1 = 1
  • Denominador: x^2 + y^2 + 2
    Aqui, x^2 e y^2 também tendem a zero (já que quadrado de zero é zero). Assim, o denominador fica:
x^2 + y^2 + 2 approx 0 + 0 + 2 = 2

Passo 3

Agora, substituímos os valores aproximados do numerador e do denominador no limite:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) xy + 1x^2 + y^2 + 2 approx 12
Isso significa que, à medida que x e y se aproximam de zero, a fração tende a 12.

Resposta

O limite é 12.

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