Supondo que a curva descrita pelo movimento de um objeto no espaço é dada pelas equações paramétricas .
Em qual direção se move objeto no intante em que passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma curva no espaço definida por equações paramétricas: , e . Nosso objetivo é descobrir em que direção o objeto está se movendo no instante em que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a direção do movimento naquele instante.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o valor de que faz com que as coordenadas sejam iguais a . Vamos resolver cada equação:
⟹
⟹ ⟹
⟹
Então, o valor de quando o objeto está no ponto é .
Passo 3
Agora, para encontrar a direção em que o objeto está se movendo naquele instante, precisamos calcular a derivada das funções paramétricas em relação a . Essas derivadas nos dão o vetor velocidade, que indica a direção do movimento.
Vamos calcular as derivadas:
Passo 4
Substituindo nas derivadas, obtemos:
dydtg|t=1 = 1^-1/2 = 1
dzdtg|t=1 = 2 cdot 1 = 2
Passo 5
Assim, o vetor velocidade no instante em que o objeto está no ponto (0, 2, 1) é v = (1, 1, 2) . Esse vetor indica a direção do movimento do objeto naquele momento.
Resposta
No instante em que o objeto passa pelo ponto (0, 2, 1) , ele está se movendo na direção do vetor v = (1, 1, 2) .