Supondo que a curva descrita pelo movimento de um objeto no espaço é dada pelas equações paramétricas
x=ln t, y=2 raizt, z=t^2.
Em qual direção se move objeto no intante em que passa pelo ponto (0,2,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma curva no espaço definida por equações paramétricas: x = ln t , y = 2raizt e z = t^2 . Nosso objetivo é descobrir em que direção o objeto está se movendo no instante em que passa pelo ponto (0, 2, 1) . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar a direção do movimento naquele instante.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o valor de t que faz com que as coordenadas (x, y, z) sejam iguais a (0, 2, 1) . Vamos resolver cada equação:
  1. x = ln t = 0 t = e^0 = 1
  2. y = 2raizt = 2 raizt = 1 t = 1
  3. z = t^2 = 1 t = 1
Então, o valor de t quando o objeto está no ponto (0, 2, 1) é t = 1 .

Passo 3

Agora, para encontrar a direção em que o objeto está se movendo naquele instante, precisamos calcular a derivada das funções paramétricas em relação a t . Essas derivadas nos dão o vetor velocidade, que indica a direção do movimento.
Vamos calcular as derivadas:
  1. dxdt = ddt(ln t) = 1t
  2. dydt = ddt(2raizt) = 2 cdot 12 t^-1/2 = t^-1/2
  3. dzdt = ddt(t^2) = 2t

Passo 4

Substituindo t = 1 nas derivadas, obtemos:
  1. dxdtg|t=1 = 11 = 1
  2. dydtg|t=1 = 1^-1/2 = 1
  3. dzdtg|t=1 = 2 cdot 1 = 2

Passo 5

Assim, o vetor velocidade no instante em que o objeto está no ponto (0, 2, 1) é v = (1, 1, 2) . Esse vetor indica a direção do movimento do objeto naquele momento.

Resposta

No instante em que o objeto passa pelo ponto (0, 2, 1) , ele está se movendo na direção do vetor v = (1, 1, 2) .

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