Aplique o Teorema de Euler para resolver a equação 19^119 x equiv 5(bmod 225).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a congruência 19^119xequiv5pmod225 usando o Teorema de Euler, que trata de exponenciações módulo quando a base e o módulo são primos entre si.

Passo 2

O módulo é 225. Calculamos o totiente: 225=3^2cdot5^2, então
varphi(225)=225(1-tfrac13)(1-tfrac15)=225cdottfrac23cdottfrac45=120

Passo 3

Verificamos que gcd(19,225)=1, logo podemos aplicar o Teorema de Euler:
19^varphi(225)=19^120equiv1pmod225

Passo 4

Da congruência acima segue que
19^119equiv19^-1pmod225,
pois 19^119cdot19=19^120equiv1. Substituindo em 19^119xequiv5 obtemos
19^-1xequiv5pmod225

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por 19 para isolar x:
xequiv5cdot19equiv95pmod225

Resposta

xequiv95pmod225

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