Seja
ou
. Mostre que:
a Dadas
e
duas matrizes sobre
é impossível termos
.
b Conclua que não existem transformações lineais
sobre
-espaços vetoriais de dimensão finita tais que
Id.
c Mostre que isso não acontece se desconsiderarmos a hipóteses de dimensão finita.
a Dadas
b Conclua que não existem transformações lineais
c Mostre que isso não acontece se desconsiderarmos a hipóteses de dimensão finita.
Passo 1
O enunciado pede para provar que não existem matrizes ou transformações lineares em espaço de dimensão finita cuja comutador seja a identidade, e por fim mostrar que em dimensão infinita isso já não vale mais. Vamos usar a teoria de traço de matrizes e um exemplo clássico em espaço infinito.
Passo 2
Lembrando que para matrizes quadradas sobre
vale sempre
. Logo, para quaisquer matrizes
temos
Passo 3
Se fosse
, tomando traço dos dois lados daria
o que é impossível. Assim resolvemos o item a e, pelo mesmo argumento aplicado a qualquer base finita, concluímos o item b.
Passo 4
No caso de dimensão infinita não podemos usar essa ideia de traço (ele pode nem existir). Um exemplo concreto é o espaço
de polinômios sobre
. Defina
Então para todo polinômio
vale
Subtraindo,
, ou seja
.
Resposta
a) e b) não existem matrizes nem transformações lineares em espaço de dimensão finita com
ou
. c) em dimensão infinita, por exemplo em
com
e
, obtemos
.