Seja K=R ou C. Mostre que:
a Dadas A e B duas matrizes sobre K é impossível termos A B-B A=I.
b Conclua que não existem transformações lineais T, G sobre K-espaços vetoriais de dimensão finita tais que T circ G-G circ T= Id.
c Mostre que isso não acontece se desconsiderarmos a hipóteses de dimensão finita.

Passo 1

O enunciado pede para provar que não existem matrizes ou transformações lineares em espaço de dimensão finita cuja comutador seja a identidade, e por fim mostrar que em dimensão infinita isso já não vale mais. Vamos usar a teoria de traço de matrizes e um exemplo clássico em espaço infinito.

Passo 2

Lembrando que para matrizes quadradas sobre K vale sempre tr(AB)=tr(BA). Logo, para quaisquer matrizes A,B temos
tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0

Passo 3

Se fosse AB-BA=In, tomando traço dos dois lados daria
0=tr(AB-BA)=tr(In)=nneq0,
o que é impossível. Assim resolvemos o item a e, pelo mesmo argumento aplicado a qualquer base finita, concluímos o item b.

Passo 4

No caso de dimensão infinita não podemos usar essa ideia de traço (ele pode nem existir). Um exemplo concreto é o espaço V= K[x] de polinômios sobre K. Defina
T:,p(x)mapsto p'(x),
G:,p(x)mapsto x,p(x)
Então para todo polinômio p vale
(TG)(p)=T(xp)= (xp)'=p+x p',
(GT)(p)=G(p')=x p'
Subtraindo, (TG-GT)(p)=p, ou seja TG-GT=Id.

Resposta

a) e b) não existem matrizes nem transformações lineares em espaço de dimensão finita com AB-BA=I ou Tcirc G-Gcirc T=Id. c) em dimensão infinita, por exemplo em V= K[x] com T(p)=p' e G(p)=xp, obtemos TG-GT=Id.

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