Seja T: M2(R) M2(R) uma transformação linear dada por
T(cc x & y z & w )=(cc 0 & x z-w & 0 )
a Determine a matriz de T com relação à base canônica.
b Determine a matriz de T com relação à base
B=(ll 1 & 0 0 & 1 ),(ll 0 & 1 1 & 0 ),(ll 1 & 0 1 & 1 ),(ll 0 & 1 0 & 1 )
de M2(R).
c Exiba a matriz M tal que [T]B^BB=M^-1[T]Can^Can M.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a matriz que representa a transformação linear T em duas bases diferentes (a canônica e a base B dada) e, por fim, exibir a matriz de mudança de base M que relaciona as duas representações. Vamos usar o fato de que, para uma base (v₁,…,v₄), a j-ésima coluna de [T] é o vetor de coordenadas de T(vⱼ) nessa base.

Passo 2

Primeiro, tomamos a base canônica de M₂(ℝ): E₁₁, E₁₂, E₂₁, E₂₂. Calculamos T em cada um e escrevemos em coordenadas canônicas:
— T(E₁₁) = E₁₂ → coordenadas (0,1,0,0)
— T(E₁₂) = 0 → coordenadas (0,0,0,0)
— T(E₂₁) = E₂₁ → coordenadas (0,0,1,0)
— T(E₂₂) = −E₂₁ → coordenadas (0,0,−1,0)
Portanto,
[T]Can= 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 3

Agora vamos à base B = {B₁,B₂,B₃,B₄} com
B₁=1&00&1, B₂=0&11&0, B₃=1&01&1, B₄=0&10&1

Passo 4

Para cada Bⱼ calculamos T(Bⱼ) e resolvemos o sistema que expressa T(Bⱼ) como combinação linear de B₁,…,B₄. As coordenadas achadas são as colunas de [T]_{B}:
— Coluna 1 (T(B₁)): (2,1,−2,0)
— Coluna 2 (T(B₂)): (−1,0,1,0)
— Coluna 3 (T(B₃)): (1,1,−1,0)
— Coluna 4 (T(B₄)): (1,0,−1,0)
Logo,
[T]B^B= 2 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 0 -2 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 0

Passo 5

Por fim, a matriz de mudança de base M de coordenadas em B para coordenadas canônicas tem colunas dadas pelas coordenadas de B₁,…,B₄ na base canônica. Como
B₁↦(1,0,0,1),
B₂↦(0,1,1,0),
B₃↦(1,0,1,1),
B₄↦(0,1,0,1),
temos
M= 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 1 , que satisfaz
[T]B^B=M^-1,[T]Can,M

Resposta

a)
[T]Can= 0 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0
b)
[T]B^B= 2 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 0 -2 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & 0 & 0
c)
M= 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 & 1 ,
que cumpre
[T]B^B=M^-1[T]CanM

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