a) Aplique o Teorema de Green para calcular \int_{C} F, d r ao longo da curva C, com orientação positiva, em que F(x, y)=\left(x^{2} y^{2}, 4 x y^{3}\right) e C é a trajetória triangular que vai de (0,0) a (1,0) a (1,2) e a (0,0).
b) Usando a definiçăo de integral de linha, expresse a integral acima como uma soma de integrais (năo é necessário fazer o cálculo)
Resp: a) \int_{C} F \cdot d r=
b) \int_{C} F \cdot d r=

Passo 1

O enunciado pede a linha integral de \mathbf F(x,y)=(x^2y^2,\;4xy^3) ao longo da curva fechada C que é o triângulo com vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,2)\to(0,0), com orientação positiva. Vamos usar o Teorema de Green para calcular rapidamente essa integral, e depois, para a parte (b), escreveremos a definição de integral de linha como soma de integrais em cada aresta.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde P(x,y)=x^2y^2 e Q(x,y)=4xy^3. Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=4y^3,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=2x^2y,
logo o integrando é
4y^3-2x^2y.

Passo 3

A região R é o triângulo com base em y=0, cota vertical x=1 e hipotenusa y=2x. Assim
\iint_{R}(4y^3-2x^2y)\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2x}\!(4y^3-2x^2y)\,dy\,dx.
Fazendo a integração em y:
\int_{0}^{2x}4y^3\,dy=16x^4, \quad \int_{0}^{2x}2x^2y\,dy=4x^4,
então o integrando em x fica 16x^4-4x^4=12x^4. Finalmente
\int_{0}^{1}12x^4\,dx =12\cdot\frac{x^5}{5}\Big|_{0}^{1} =\frac{12}{5}.

Passo 4

Para a parte (b), parametrizamos os três trechos de C sem calcular nada:
C_1: r_1(t)=(t,0), t\in[0,1];
C_2: r_2(t)=(1,t), t\in[0,2];
C_3: r_3(t)=(1-t,\,2-2t), t\in[0,1].
Então, pela definição,
\int_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{1}\mathbf F\bigl(r_1(t)\bigr)\cdot r_1'(t)\,dt +\int_{0}^{2}\mathbf F\bigl(r_2(t)\bigr)\cdot r_2'(t)\,dt +\int_{0}^{1}\mathbf F\bigl(r_3(t)\bigr)\cdot r_3'(t)\,dt.

Resposta

(a) \displaystyle \int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\frac{12}{5}.
(b) \displaystyle \int_{C}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\int_{0}^{1}\mathbf F\bigl(r_1(t)\bigr)\cdot r_1'(t)\,dt +\int_{0}^{2}\mathbf F\bigl(r_2(t)\bigr)\cdot r_2'(t)\,dt +\int_{0}^{1}\mathbf F\bigl(r_3(t)\bigr)\cdot r_3'(t)\,dt.

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