a) Aplique o Teorema de Green para calcular \int_{C} F, d r ao longo da curva C, com orientação positiva, em que F(x, y)=\left(x^{2} y^{2}, 4 x y^{3}\right) e C é a trajetória triangular que vai de (0,0) a (1,0) a (1,2) e a (0,0).
b) Usando a definiçăo de integral de linha, expresse a integral acima como uma soma de integrais (năo é necessário fazer o cálculo)
Resp: a) \int_{C} F \cdot d r=
b) \int_{C} F \cdot d r=
Passo 1
O enunciado pede a linha integral de \mathbf F(x,y)=(x^2y^2,\;4xy^3) ao longo da curva fechada C que é o triângulo com vértices (0,0)\to(1,0)\to(1,2)\to(0,0), com orientação positiva. Vamos usar o Teorema de Green para calcular rapidamente essa integral, e depois, para a parte (b), escreveremos a definição de integral de linha como soma de integrais em cada aresta.
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r \;=\;\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
Para a parte (b), parametrizamos os três trechos de C sem calcular nada: C_1: r_1(t)=(t,0), t\in[0,1]; C_2: r_2(t)=(1,t), t\in[0,2]; C_3: r_3(t)=(1-t,\,2-2t), t\in[0,1].
Então, pela definição,