Determinar os seguintes limites, baseando-se pelos limites fundamentais:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
L = \lim_{x \to +\infty}\Bigl(1 - \frac{2}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo é o limite fundamental do tipo \lim_{n\to\infty}(1 + a/n)^{n}=e^{a} ou, equivalentemente, usar a propriedade
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1
aplicando logaritmo na expressão.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de L:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \,\ln\!\Bigl(1 - \frac{2}{x}\Bigr).

Passo 3

Para avaliar \ln L, faça a mudança u = -\tfrac{2}{x}. Assim u\to0 quando x\to+\infty e
x = -\frac{2}{u}, \quad \ln\!\Bigl(1 - \frac{2}{x}\Bigr) = \ln(1+u).
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x\,\ln\!\Bigl(1 - \frac{2}{x}\Bigr) = -\frac{2}{u}\,\ln(1+u) = -2\;\frac{\ln(1+u)}{u} \longrightarrow -2\cdot1 = -2
em virtude de \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Portanto \ln L = -2.

Passo 4

Exponenciando, obtemos
L = e^{-2}.

Resposta

e^{-2}

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