Calcule o limite, caso exista. Caso nāo exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4 x+2}}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-4x+2}}{x+1}.
Esse problema envolve limites no infinito de expressão com radical e polinômios. Vamos identificar a forma indeterminada e usar fatoração de x^2 dentro da raiz para simplificar.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^2:
\sqrt{x^{2}-4x+2} = \sqrt{x^{2}\Bigl(1 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}\Bigr)} = |x|\,\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}.

Passo 3

Como x\to -\infty, temos x<0 e, portanto, |x|=-x. Logo,
\sqrt{x^{2}-4x+2} = -x\,\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}.
Substituindo em \frac{\sqrt{x^{2}-4x+2}}{x+1},
\frac{\sqrt{x^{2}-4x+2}}{x+1} = \frac{-x\,\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}{x\bigl(1 + \frac{1}{x}\bigr)} = -\,\frac{\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}{1 + \frac{1}{x}}.

Passo 4

Basta agora avaliar os limites das partes:
\lim_{x\to -\infty}\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{2}{x^{2}}} = 1, \quad \lim_{x\to -\infty}\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr) = 1.
Portanto,
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-4x+2}}{x+1} = -\,\frac{1}{1} = -1.

Resposta

-1

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