- Aplique o Teorema de Sturm para localizar as raízes reais do polinômio
. Quantas raízes reais distintas existem?
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema de Sturm no polinômio
a fim de determinar quantas raízes reais distintas ele tem.
Para isso vamos construir a sequência de Sturm
, onde
Para isso vamos construir a sequência de Sturm
e para
e então contamos as variações de sinal em
e
.
Passo 2
Calcule
e
:
Passo 3
Dividindo
por
e pegando o resto, obtemos
logo
Em seguida dividindo
por
:
portanto
Passo 4
Continuando, dividindo
por
:
Depois, dividindo
por
:
Passo 5
Ainda:
dividindo por
:
dividindo
Finalmente, dividindo
por
:
e a sequência de Sturm está completa.
Passo 6
Agora contamos variações de sinal em
e
. Basta olhar o sinal do termo de maior grau em cada
(ou da constante em
):
Em
:
As variações de sinal são 3.
Em
:
Também há 3 variações.
Pelo Teorema de Sturm, o número de raízes reais em
é
Resposta
Não existem raízes reais distintas para o polinômio
.