1. Aplique o Teorema de Sturm para localizar as raízes reais do polinômio S(x)= x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1. Quantas raízes reais distintas existem?

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema de Sturm no polinômio
S(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1
a fim de determinar quantas raízes reais distintas ele tem.
Para isso vamos construir a sequência de Sturm
\{p_{0},p_{1},p_{2},\dots\}, onde
p_{0}(x)=S(x),\quad p_{1}(x)=S'(x),
e para k\ge1
p_{k+1}(x)=-\operatorname{rem}\bigl(p_{k-1},p_{k}\bigr),
e então contamos as variações de sinal em x\to-\infty e x\to+\infty.

Passo 2

Calcule p_{0} e p_{1}:
p_{0}(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1,
p_{1}(x)=\frac{d}{dx}p_{0}(x)=4x^{3}+3x^{2}-2x-1.

Passo 3

Dividindo p_{0} por p_{1} e pegando o resto, obtemos
\operatorname{rem}(p_{0},p_{1}) =\tfrac14x^{3}-\tfrac12x^{2}-\tfrac34x+1,
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p_{2}(x)=-\bigl(\tfrac14x^{3}-\tfrac12x^{2}-\tfrac34x+1\bigr) =-\tfrac14x^{3}+\tfrac12x^{2}+\tfrac34x-1.
Em seguida dividindo p_{1} por p_{2}:
\operatorname{rem}(p_{1},p_{2})=11x^{2}+10x-17,
portanto
p_{3}(x)=-\bigl(11x^{2}+10x-17\bigr) =-11x^{2}-10x+17.

Passo 4

Continuando, dividindo p_{2} por p_{3}:
\operatorname{rem}(p_{2},p_{3}) =\tfrac{8}{11}x^{2}+\tfrac{4}{11}x-1,
p_{4}(x)=-\bigl(\tfrac{8}{11}x^{2}+\tfrac{4}{11}x-1\bigr) =-\tfrac{8}{11}x^{2}-\tfrac{4}{11}x+1.
Depois, dividindo p_{3} por p_{4}:
\operatorname{rem}(p_{3},p_{4})=-\tfrac92x+\tfrac{15}{8},
p_{5}(x)=-\bigl(-\tfrac92x+\tfrac{15}{8}\bigr) =\tfrac92x-\tfrac{15}{8}.

Passo 5

Ainda:
dividindo p_{4} por p_{5}:
\operatorname{rem}(p_{4},p_{5})=-\tfrac23x+1,
p_{6}(x)=-\bigl(-\tfrac23x+1\bigr) =\tfrac23x-1.
Finalmente, dividindo p_{5} por p_{6}:
\operatorname{rem}(p_{5},p_{6})=\tfrac{39}{8},
p_{7}(x)=-\tfrac{39}{8} \quad(\text{constante não nula}),ã
e a sequência de Sturm está completa.

Passo 6

Agora contamos variações de sinal em x\to-\infty e x\to+\infty. Basta olhar o sinal do termo de maior grau em cada p_{k} (ou da constante em p_{7}):
Em x\to+\infty:
p_{0}>0,\;p_{1}>0,\;p_{2}<0,\;p_{3}<0,\;p_{4}<0,\;p_{5}>0,\;p_{6}>0,\;p_{7}<0.
As variações de sinal são 3.
Em x\to-\infty:
p_{0}>0,\;p_{1}<0,\;p_{2}>0,\;p_{3}<0,\;p_{4}<0,\;p_{5}<0,\;p_{6}<0,\;p_{7}<0.
Também há 3 variações.
Pelo Teorema de Sturm, o número de raízes reais em (-\infty,\infty) é
V(-\infty)-V(+\infty)=3-3=0.

Resposta

Não existem raízes reais distintas para o polinômio S(x).

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