Para o polinômio
, use o Teorema de Sturm para determinar o número de raízes reais positivas e negativas.
Passo 1
O enunciado pede, para o polinômio
, usar o Teorema de Sturm para contar quantas raízes reais são positivas e quantas são negativas. O Teorema de Sturm diz que, se montarmos a sequência de Sturm
para
e avaliarmos o número de variações de sinal
em dois pontos
onde nenhum
zera, então o número de raízes de
em
é
. Vamos precisar:
- Montar a sequência de Sturm.
- Avaliar as variações de sinal em
, , e . - Aplicar o Teorema para os intervalos
e .
Passo 2
Construção da sequência de Sturm:
Agora dividimos sucessivamente e tomamos o negativo do resto:
- Dividindo
por e pegando o resto , obtemos
- Dividindo
por e pegando o resto , obtemos
- Dividindo
por e pegando o resto constante , obtemos
Como
é constante não nula, a sequência termina aí.
Passo 3
Avaliação em
e
:
Como
:
Sinais: → variações
.
Sinais:
Como
:
Sinais: → variações
.
Sinais:
Pelo Teorema de Sturm, número de raízes positivas é
Passo 4
Avaliação em
e
:
Como
:
Sinais: → variações
.
Sinais:
Como
os sinais dos valores em zero são os mesmos de
, ou seja
, então
.
Pelo Teorema de Sturm, número de raízes negativas é
Resposta
Número de raízes positivas: 2
Número de raízes negativas: 1
Número de raízes negativas: 1