Para o polinômio T(x)=x^{3}-7 x+7, use o Teorema de Sturm para determinar o número de raízes reais positivas e negativas.

Passo 1

O enunciado pede, para o polinômio T(x)=x^{3}-7x+7, usar o Teorema de Sturm para contar quantas raízes reais são positivas e quantas são negativas. O Teorema de Sturm diz que, se montarmos a sequência de Sturm \{p_{0},p_{1},\dots,p_{m}\} para T e avaliarmos o número de variações de sinal V(a) em dois pontos a<b onde nenhum p_{i} zera, então o número de raízes de T em (a,b) é V(a)-V(b). Vamos precisar:
  1. Montar a sequência de Sturm.
  2. Avaliar as variações de sinal em x\to+\infty, x\to0^+, x\to-\infty e x\to0^-.
  3. Aplicar o Teorema para os intervalos (0,+\infty) e (-\infty,0).

Passo 2

Construção da sequência de Sturm:
p_{0}(x)=T(x)=x^{3}-7x+7
p_{1}(x)=T'(x)=3x^{2}-7
Agora dividimos sucessivamente e tomamos o negativo do resto:
  1. Dividindo p_{0} por p_{1} e pegando o resto r_{1}(x)=-\tfrac{14}{3}x+7, obtemos
p_{2}(x)=\frac{14}{3}x-7.
  1. Dividindo p_{1} por p_{2} e pegando o resto r_{2}(x)=\tfrac{9}{2}x-7, obtemos
p_{3}(x)=-\frac{9}{2}x+7.
  1. Dividindo p_{2} por p_{3} e pegando o resto constante r_{3}(x)=-\frac{7}{27}, obtemos
p_{4}(x)=-\frac{7}{27}.
Como p_{4} é constante não nula, a sequência termina aí.

Passo 3

Avaliação em x\to+\infty e x\to0^+:
Como x\to+\infty:
\,p_{0}>0,\;p_{1}>0,\;p_{2}>0,\;p_{3}<0,\;p_{4}<0
Sinais: +,+,+,-,- → variações V(+\infty)=1.
Como x\to0^+:
\,p_{0}(0)=7>0,\;p_{1}(0)=-7<0,\;p_{2}(0)=-7<0,\;p_{3}(0)=7>0,\;p_{4}=-\tfrac{7}{27}<0
Sinais: +,-,-,+,- → variações V(0^+)=3.
Pelo Teorema de Sturm, número de raízes positivas é
V(0^+)-V(+\infty)=3-1=2.

Passo 4

Avaliação em x\to-\infty e x\to0^-:
Como x\to-\infty:
\,p_{0}\to-\infty<0,\;p_{1}\to+\infty>0,\;p_{2}\to-\infty<0,\;p_{3}\to+\infty>0,\;p_{4}<0
Sinais: -,+,-,+,- → variações V(-\infty)=4.
Como x\to0^- os sinais dos valores em zero são os mesmos de 0^+, ou seja +,-,-,+,-, então
V(0^-)=3.
Pelo Teorema de Sturm, número de raízes negativas é
V(-\infty)-V(0^-)=4-3=1.

Resposta

Número de raízes positivas: 2
Número de raízes negativas: 1

Exercícios relacionados