1. Determine o número de raízes reais do polinômio R(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6 usando o Teorema de Sturm. (Dica: primeiramente determine os intervalos onde as raízes podem estar).

Passo 1

O enunciado pede o número de raízes reais do polinômio
R(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6
usando o Teorema de Sturm. Para isso vamos precisar de
  1. Um intervalo [a,b] que contenha todas as raízes reais (sem ter nenhuma em a ou em b).
  2. Construir a sequência de Sturm associada a R(x).
  3. Contar as variações de sinal dessa sequência em x=a e em x=b.
  4. Aplicar o Teorema de Sturm: o número de raízes reais em (a,b) é V(a)-V(b).

Passo 2

Primeiro achamos um intervalo que contenha todas as raízes:
  • Pela Regra de Descartes, R(x) tem 3 trocas de sinal em x>0, logo pode ter 3, 1 ou nenhuma raiz positiva.
  • Em x<0 não há troca de sinal em R(-x), logo não há raízes negativas.
  • Pelo Teorema de Cauchy, todas as raízes reais satisfazem \lvert x\rvert\le1+\max\{6,11,6\}=12.
  • Para simplificar, note que R(0)=-6<0 e R(6)=216-216+66-6=60>0, sem raiz exata em 0 ou em 6.
    Portanto todas as raízes reais estão em (0,6), e podemos usar o intervalo [0,6].

Passo 3

Agora construímos a sequência de Sturm:
p_{0}(x)=R(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6,
p_{1}(x)=R'(x)=3x^{2}-12x+11.
Fazendo a divisão euclidiana de p_{0} por p_{1} e tomando sinal trocado do resto, obtemos
p_{2}(x)=3x^{2}-11x+9,
em seguida dividindo p_{1} por p_{2} e invertendo o resto,
p_{3}(x)=x-2,
e finalmente dividindo p_{2} por p_{3} dá resto -1, invertendo,
p_{4}(x)=1.
Assim a sequência de Sturm é
p_{0},\;p_{1},\;p_{2},\;p_{3},\;p_{4}.

Passo 4

Calculamos as variações de sinal em x=0 e em x=6, olhando apenas o sinal de cada p_{i}(x):
Em x=0:
p_{0}(0)=-6\;\bigl(-\bigr),\;p_{1}(0)=11\;\bigl(+\bigr),\;p_{2}(0)=9\;\bigl(+\bigr),\;p_{3}(0)=-2\;\bigl(-\bigr),\;p_{4}(0)=1\;\bigl(+\bigr).
Isso dá as variações
-,+,\;+,\;-,\;+ \quad\Longrightarrow\quad V(0)=3.
Em x=6:
p_{0}(6)=60\;(+),\;p_{1}(6)=47\;(+),\;p_{2}(6)=51\;(+),\;p_{3}(6)=4\;(+),\;p_{4}(6)=1\;(+).
Não há troca de sinal, então
V(6)=0.

Passo 5

Pelo Teorema de Sturm, o número de raízes reais de R(x) em (0,6) é
V(0)-V(6)=3-0=3.

Resposta

O polinômio R(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6 tem 3 raízes reais.

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