- Determine o número de raízes reais do polinômio
usando o Teorema de Sturm. (Dica: primeiramente determine os intervalos onde as raízes podem estar).
Passo 1
O enunciado pede o número de raízes reais do polinômio
usando o Teorema de Sturm. Para isso vamos precisar de
- Um intervalo
que contenha todas as raízes reais (sem ter nenhuma em ou em ). - Construir a sequência de Sturm associada a
. - Contar as variações de sinal dessa sequência em
e em . - Aplicar o Teorema de Sturm: o número de raízes reais em
é .
Passo 2
Primeiro achamos um intervalo que contenha todas as raízes:
- Pela Regra de Descartes,
tem 3 trocas de sinal em , logo pode ter 3, 1 ou nenhuma raiz positiva. - Em
não há troca de sinal em , logo não há raízes negativas. - Pelo Teorema de Cauchy, todas as raízes reais satisfazem
. - Para simplificar, note que
e , sem raiz exata em ou em .
Portanto todas as raízes reais estão em, e podemos usar o intervalo .
Passo 3
Agora construímos a sequência de Sturm:
Fazendo a divisão euclidiana de
por
e tomando sinal trocado do resto, obtemos
em seguida dividindo
por
e invertendo o resto,
e finalmente dividindo
por
dá resto
, invertendo,
Assim a sequência de Sturm é
Passo 4
Calculamos as variações de sinal em
e em
, olhando apenas o sinal de cada
:
Em
:
Isso dá as variações
Isso dá as variações
Em
:
Não há troca de sinal, então
Não há troca de sinal, então
Passo 5
Pelo Teorema de Sturm, o número de raízes reais de
em
é
Resposta
O polinômio
tem 3 raízes reais.