1. Para o polinômio Q(x)=x^{4}-4 x+1, encontre o número de raízes reais no intervalo [0,1] utilizando o Teorema de Sturm.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos contar as raízes reais de
Q(x)=x^4-4x+1
no intervalo [0,1] usando o Teorema de Sturm. Para isso vamos montar a sequência de Sturm (f_0,f_1,f_2,\dots) e comparar o número de variações de sinal em x=0 e em x=1.

Passo 2

Definimos
f_0(x)=Q(x)=x^4-4x+1 \qquad\text{e}\qquad f_1(x)=Q'(x)=4x^3-4.

Passo 3

Dividindo f_0 por f_1 obtemos resto -3x+1. Assim
f_2(x)=-\mathrm{rem}(f_0,f_1)=3x-1.

Passo 4

Agora dividimos f_1 por f_2; o resto é -\tfrac{104}{27}. Logo
f_3(x)=-\mathrm{rem}(f_1,f_2)=\frac{104}{27},
que é constante e encerra a sequência de Sturm.

Passo 5

Avaliação em x=0:
f_0(0)=1>0,\quad f_1(0)=-4<0,\quad f_2(0)=-1<0,\quad f_3(0)=\tfrac{104}{27}>0.
A sequência de sinais é +,-,-,+, com duas mudanças de sinal, logo
V(0)=2.

Passo 6

Avaliação em x=1:
f_0(1)=-2<0,\quad f_1(1)=0,\quad f_2(1)=2>0,\quad f_3(1)=\tfrac{104}{27}>0.
Como f_1(1)=0, atribuímos a ele o sinal de f_2(1), que é positivo. Assim a sequência de sinais em 1 é -,+,+,+, com uma única mudança de sinal, e
V(1)=1.

Passo 7

Pelo Teorema de Sturm, o número de raízes reais de Q em [0,1] é
V(0)-V(1)=2-1=1.

Resposta

1

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