Aplique o teste da convergência absoluta para estudar a convergência das seguinte séries: \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{n}}{2^{2 n}}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{2^{2n}}
e pede que se aplique o teste da convergência absoluta para estudar a convergência. Informações importantes fornecidas:
O termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{3^{n}}{2^{2n}}.
A pergunta é: a série converge absolutamente? (e, consequentemente, converge ou não?)
Passo 2
O que é o teste da convergência absoluta (explicação didática)?
Definição: uma série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos absolutos \sum |a_n| converge.
Teorema importante: se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Intuição: somar quantidades não negativas que somam um valor finito domina qualquer oscilação de sinal.
Plano: calcular |a_n|, estudar a série \sum |a_n|; se esta convergir, concluímos que a série original converge absolutamente (e portanto converge).