Aplique o teste da convergência absoluta para estudar a convergência das seguinte séries:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{3^{n}}{2^{2 n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{2^{2n}}
e pede que se aplique o teste da convergência absoluta para estudar a convergência. Informações importantes fornecidas:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{3^{n}}{2^{2n}}.
  • A pergunta é: a série converge absolutamente? (e, consequentemente, converge ou não?)

Passo 2

O que é o teste da convergência absoluta (explicação didática)?
  • Definição: uma série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos absolutos \sum |a_n| converge.
  • Teorema importante: se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Intuição: somar quantidades não negativas que somam um valor finito domina qualquer oscilação de sinal.
  • Plano: calcular |a_n|, estudar a série \sum |a_n|; se esta convergir, concluímos que a série original converge absolutamente (e portanto converge).

Passo 3

Calcular os termos absolutos:
|a_n|=\left|(-1)^{n+1}\frac{3^{n}}{2^{2n}}\right|=\frac{3^{n}}{2^{2n}}.
Uma identitade de potências útil aqui é \;2^{2n}=(2^2)^n=4^{n}. Usando isso:
|a_n|=\frac{3^{n}}{4^{n}}=\left(\frac{3}{4}\right)^{n}.
Comentário pedagógico: passar de \dfrac{3^n}{2^{2n}} para \left(\dfrac{3}{4}\right)^n facilita reconhecer o tipo de série (geométrica).

Passo 4

Reconhecer a série de termos absolutos e aplicar o teste:
  • A série de termos absolutos é
\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n},
que é uma série geométrica com razão r=\dfrac{3}{4}.
  • Fato sobre séries geométricas: \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e só se, |r|<1. Neste caso |r|=\dfrac{3}{4}<1, logo a série converge.
  • Podemos até calcular a soma da série geométrica (opcional mas instrutivo):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3}{4}\right)^{n}=\frac{\tfrac{3}{4}}{1-\tfrac{3}{4}}=\frac{\tfrac{3}{4}}{\tfrac{1}{4}}=3,
portanto a soma dos termos absolutos é finita.

Passo 5

Conclusão a partir do teste da convergência absoluta:
  • Como \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n} converge, a série original converge absolutamente.
  • Pelo teorema, a série original também converge (a convergência absoluta é uma forma mais forte de convergência).

Resposta

A série converge absolutamente, portanto converge.

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