Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência ou divergência da série e, quando possível, calcular a sua soma. A série dada é
Informações explícitas do enunciado:
- O termo geral é
. - Deve-se decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma.
Passo 2
Transformar o termo geral para reconhecer o tipo de série. Podemos reescrever
agrupando potências com mesmo expoente
:
Definindo
temos
. Portanto a série é uma série geométrica (os termos são potências de uma razão
).
Passo 3
Lembrete sobre séries geométricas (fórmula e critério de convergência).
- A soma parcial da série geométrica com razão
começa em é
- Tomando o limite
: - Se
, então e a soma infinita converge para Aqui é a razão e deve satisfazer . - Se
, então não tende a zero (ou diverge), logo a série diverge porque os termos não vão a zero. Observação importante: um teste rápido é o teste do termo geral — se , a série diverge.
- Se
Passo 4
Aplicar o critério ao caso concreto. Precisamos avaliar
e verificar se
ou não. Como
, basta verificar se
.
Tomamos logaritmos para comparar:
Agora avaliamos numericamente (apenas para decidir o sinal):
Multiplicando
:
Subtraindo:
Como
, segue que
. Podemos também calcular aproximadamente
Passo 5
Conclusão lógica a partir do passo anterior:
- A razão
da série geométrica satisfaz . - Portanto os termos
não tendem a zero; pelo teste do termo geral a série diverge. - Como
, não se aplica a fórmula da soma (essa fórmula só vale quando ). Logo a série não tem soma finita.