Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n \pi}}{\pi^{n e}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência ou divergência da série e, quando possível, calcular a sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n\pi}}{\pi^{n e}}.
Informações explícitas do enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_n=\frac{e^{n\pi}}{\pi^{n e}}.
  • Deve-se decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, calcular a soma.

Passo 2

Transformar o termo geral para reconhecer o tipo de série. Podemos reescrever a_n agrupando potências com mesmo expoente n:
a_n=\frac{e^{n\pi}}{\pi^{n e}}=\left(\frac{e^{\pi}}{\pi^{e}}\right)^{n}.
Definindo
r:=\frac{e^{\pi}}{\pi^{e}},
temos a_n=r^{n}. Portanto a série é uma série geométrica (os termos são potências de uma razão r).

Passo 3

Lembrete sobre séries geométricas (fórmula e critério de convergência).
  • A soma parcial da série geométrica com razão r começa em n=1 é
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}\qquad(\text{se }r\neq1).
  • Tomando o limite N\to\infty:
    • Se |r|<1, então r^{N}\to0 e a soma infinita converge para \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.Aqui r é a razão e deve satisfazer |r|<1.
    • Se |r|\ge1, então r^{N} não tende a zero (ou diverge), logo a série diverge porque os termos não vão a zero. Observação importante: um teste rápido é o teste do termo geral — se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge.

Passo 4

Aplicar o critério ao caso concreto. Precisamos avaliar r=\dfrac{e^{\pi}}{\pi^{e}} e verificar se |r|<1 ou não. Como r>0, basta verificar se r<1.
Tomamos logaritmos para comparar:
\ln r=\ln\!\left(\frac{e^{\pi}}{\pi^{e}}\right)=\pi - e\ln\pi.
Agora avaliamos numericamente (apenas para decidir o sinal):
\pi\approx 3{,}141592654,\qquad e\approx 2{,}718281828,\qquad \ln\pi\approx 1{,}144729885.
Multiplicando e\ln\pi:
e\ln\pi\approx 2{,}718281828\times 1{,}144729885\approx 3{,}113250378.
Subtraindo:
\ln r=\pi - e\ln\pi\approx 3{,}141592654-3{,}113250378\approx 0{,}028342276>0.
Como \ln r>0, segue que r=e^{\ln r}>1. Podemos também calcular aproximadamente
r\approx e^{0{,}028342276}\approx 1{,}0288>1.

Passo 5

Conclusão lógica a partir do passo anterior:
  • A razão r da série geométrica satisfaz r>1.
  • Portanto os termos a_n=r^{n} não tendem a zero; pelo teste do termo geral a série diverge.
  • Como r\ge1, não se aplica a fórmula da soma \dfrac{r}{1-r} (essa fórmula só vale quando |r|<1). Logo a série não tem soma finita.

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{n\pi}}{\pi^{n e}} diverge.

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