Se essa série de valores absolutos convergir, então a série original converge absolutamente (e portanto converge). Se a série de valores absolutos divergir, aí seria preciso investigar convergência condicional — mas primeiro vamos checar a absoluta.
Passo 2
Escrever explicitamente o termo absoluto e simplificar:
Lembrar (mini-aula) do teste da série p (p-series) e do teste da comparação:
A série p é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Sabe-se (por exemplo pelo teste da integral) que essa série converge exatamente quando p>1 e diverge quando p\le 1. No nosso caso, p=\tfrac{3}{2}>1, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
converge.
O teste da comparação diz: se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
Passo 5
Aplicando o teste da comparação ao nosso caso: como para todo n
Concluir (o que o teste da convergência absoluta pede): como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série original.