Aplique o teste da convergência absoluta para estudar a convergência das seguinte séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{3}(n)}{n^{\frac{3}{2}}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^{3}(n)}{n^{\frac{3}{2}}}
e pede para aplicar o teste da convergência absoluta para estudar sua convergência. Ou seja:
  • Primeiro vou considerar a série formada pelos valores absolutos dos termos, isto é
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{\sin^{3}(n)}{n^{\frac{3}{2}}}\right|.
  • Se essa série de valores absolutos convergir, então a série original converge absolutamente (e portanto converge). Se a série de valores absolutos divergir, aí seria preciso investigar convergência condicional — mas primeiro vamos checar a absoluta.

Passo 2

Escrever explicitamente o termo absoluto e simplificar:
\left|\frac{\sin^{3}(n)}{n^{\frac{3}{2}}}\right|=\frac{|\sin^{3}(n)|}{n^{\frac{3}{2}}}=\frac{|\sin n|^{3}}{n^{\frac{3}{2}}}.
Aqui usei que |\sin^{3}(n)|=|\sin n|^{3}. Isso transforma o problema em estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|^{3}}{n^{\frac{3}{2}}}.

Passo 3

Observar um limite superior simples para o numerador: para todo n vale
0\le |\sin n|\le 1 \quad\Rightarrow\quad 0\le |\sin n|^{3}\le 1.
Portanto, para todo n,
0\le \frac{|\sin n|^{3}}{n^{\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}.

Passo 4

Lembrar (mini-aula) do teste da série p (p-series) e do teste da comparação:
  • A série p é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
Sabe-se (por exemplo pelo teste da integral) que essa série converge exatamente quando p>1 e diverge quando p\le 1. No nosso caso, p=\tfrac{3}{2}>1, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}
converge.
  • O teste da comparação diz: se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum índice e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.

Passo 5

Aplicando o teste da comparação ao nosso caso: como para todo n
0\le \frac{|\sin n|^{3}}{n^{\frac{3}{2}}}\le \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}},
e a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} converge (pois é uma p-série com p=\tfrac{3}{2}>1), resulta que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\sin n|^{3}}{n^{\frac{3}{2}}}
converge.

Passo 6

Concluir (o que o teste da convergência absoluta pede): como a série dos valores absolutos converge, a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série original.

Resposta

A série converge absolutamente, logo converge.

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