Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries justificando sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência ou divergência da série
Informações relevantes dadas:
- O somatório começa em
. - O termo geral é
. - É necessário justificar se a série converge ou diverge.
Passo 2
Simplificar a expressão do termo geral antes de aplicar qualquer teste. Para
vale
(porque
). Assim o termo geral fica
Como
,
e podemos cancelar
, obtendo
Passo 3
Portanto o termo geral da série simplifica-se para
Isso significa que os termos não tendem a zero: eles são alternadamente
. Por exemplo,
Passo 4
Lembrete importante (teste necessário): Se a série
converge então necessariamente
. Este é um teste necessário (às vezes chamado de teste do termo geral). Aqui temos
não existe como zero — de fato os
não tendem a zero, ficam alternando entre
. Logo a condição necessária para convergência não é satisfeita.
Passo 5
Como consequência direta do passo anterior, a série diverge. Para ver de outra maneira: os somatórios parciais ficam oscilando. Se calcularmos as somas parciais
elas não convergem para um único valor (os
oscilam entre
e
). Portanto a série não converge.
Resposta
A série diverge.