Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries justificando sua resposta.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\ln (n)}{\ln \left(n^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\ln(n)}{\ln\big(n^{2}\big)}.
Informações relevantes dadas:
  • O somatório começa em n=2.
  • O termo geral é (-1)^{n+1}\dfrac{\ln(n)}{\ln\big(n^{2}\big)}.
  • É necessário justificar se a série converge ou diverge.

Passo 2

Simplificar a expressão do termo geral antes de aplicar qualquer teste. Para n\ge2 vale \ln\big(n^{2}\big)=2\ln(n) (porque \ln(a^b)=b\ln(a)). Assim o termo geral fica
\frac{\ln(n)}{\ln\big(n^{2}\big)}=\frac{\ln(n)}{2\ln(n)}.
Como n\ge2, \ln(n)\neq0 e podemos cancelar \ln(n), obtendo
\frac{\ln(n)}{\ln\big(n^{2}\big)}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Portanto o termo geral da série simplifica-se para
a_n = (-1)^{n+1}\frac{1}{2}.
Isso significa que os termos não tendem a zero: eles são alternadamente -\tfrac{1}{2},\;+\tfrac{1}{2},\;-\tfrac{1}{2},\ldots. Por exemplo,
a_2 = -\tfrac{1}{2},\qquad a_3 = +\tfrac{1}{2},\qquad a_4 = -\tfrac{1}{2},\\ \ldots

Passo 4

Lembrete importante (teste necessário): Se a série \sum a_n converge então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Este é um teste necessário (às vezes chamado de teste do termo geral). Aqui temos
\lim_{n\to\infty} a_n
não existe como zero — de fato os a_n não tendem a zero, ficam alternando entre \pm\tfrac{1}{2}. Logo a condição necessária para convergência não é satisfeita.

Passo 5

Como consequência direta do passo anterior, a série diverge. Para ver de outra maneira: os somatórios parciais ficam oscilando. Se calcularmos as somas parciais
S_2 = -\tfrac{1}{2},\qquad S_3 = 0,\qquad S_4 = -\tfrac{1}{2},\qquad S_5 = 0,\ldots
elas não convergem para um único valor (os S_N oscilam entre -\tfrac{1}{2} e 0). Portanto a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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