Aplique o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. da função: f(x, y) = x^3 + y^3 - 3 x y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e aplicar o teste da derivada segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Ponto crítico é onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas parciais a zero para encontrar os pontos críticos:
Substituindo na segunda equação:
Portanto, ou . Então, temos dois valores para :
  1. Se , então .
  2. Se , então .
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esses pontos. Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:
Vamos calcular para cada ponto crítico.

Passo 6

Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela.
Para o ponto :
Como e , o ponto é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • : ponto de sela.
  • : mínimo local.

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