Esboce a região de integração e calcule a integral.
(a)
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a região de integração e calcular a integral dupla
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração e como calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que
varia de 0 a 3 e, para cada valor de
,
varia de 0 a 2. Isso significa que a região de integração é um retângulo no plano xy, onde
está entre 0 e 3 e
está entre 0 e 2.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral interna, que é a integral em relação a
:
. Para resolver isso, vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 4
A integral de 4 em relação a
é
, e a integral de
em relação a
é
. Então, temos:
Passo 5
Vamos calcular os valores nos limites de 2 e 0:
Para :
Para
Para
:
Então, a integral interna é
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral externa, que é a integral em relação a
:
. Como
é uma constante, a integral será:
Resposta
O valor da integral dupla é 16.