Esboce a região de integração e calcule a integral.
(a) integral0^3 integral0^2 4-y^2 d y d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçar a região de integração e calcular a integral dupla integral0^3 integral0^2 (4 - y^2) , dy , dx. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração e como calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. Temos que x varia de 0 a 3 e, para cada valor de x, y varia de 0 a 2. Isso significa que a região de integração é um retângulo no plano xy, onde x está entre 0 e 3 e y está entre 0 e 2.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral interna, que é a integral em relação a y: integral0^2 (4 - y^2) , dy. Para resolver isso, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

A integral de 4 em relação a y é 4y, e a integral de -y^2 em relação a y é -y^33. Então, temos:
integral0^2 (4 - y^2) , dy = [4y - y^33]0^2

Passo 5

Vamos calcular os valores nos limites de 2 e 0:
Para y = 2:
4(2) - 2^33 = 8 - 83 = 243 - 83 = 163
Para y = 0:
4(0) - 0^33 = 0
Então, a integral interna é 163.

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral externa, que é a integral em relação a x: integral0^3 163 , dx. Como 163 é uma constante, a integral será:
163 integral0^3 dx = 163 times (3 - 0) = 163 times 3 = 16

Resposta

O valor da integral dupla é 16.

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