Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. da função: f(x, y) = x^3 + y^3 - 3 x y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante, e depois fazer isso de novo para encontrar as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante, e vice-versa.

Passo 3

Calculando :
Aqui, a derivada de em relação a é , a derivada de em relação a é zero (porque é constante), e a derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, calculando :
Aqui, a derivada de em relação a é zero, a derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular , , e .

Passo 6

Calculando :
Aqui, derivamos em relação a e obtemos , e a derivada de em relação a é zero.

Passo 7

Calculando :
Similarmente, derivamos em relação a e obtemos , e a derivada de em relação a é zero.

Passo 8

Calculando :
Aqui, derivamos em relação a e obtemos zero, e a derivada de em relação a é .

Passo 9

Da mesma forma, calculando :
A derivada de em relação a é zero, e a derivada de em relação a é .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:

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