Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, mais especificamente no estudo de derivadas parciais. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como derivar uma função em relação a uma variável enquanto mantém a outra constante, e depois fazer isso de novo para encontrar as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante, e vice-versa.
Passo 3
Calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
, a derivada de
em relação a
é zero (porque
é constante), e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é zero, a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos calcular
,
,
e
.
Passo 6
Calculando
:
Aqui, derivamos
em relação a
e obtemos
, e a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 7
Calculando
:
Similarmente, derivamos
em relação a
e obtemos
, e a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 8
Calculando
:
Aqui, derivamos
em relação a
e obtemos zero, e a derivada de
em relação a
é
.
Passo 9
Da mesma forma, calculando
:
A derivada de
em relação a
é zero, e a derivada de
em relação a
é
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são: