Resolva por integração as seguintes EDO y' = x e^(x^2 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo . A matéria que precisamos usar aqui é a integração, mais especificamente técnicas de integração para resolver EDOs simples. Vamos precisar integrar a função do lado direito para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que significa a derivada de em relação a . Então, a equação pode ser escrita como:
Para encontrar , precisamos integrar ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 3

Agora, vamos focar em resolver a integral . Para isso, usamos uma técnica chamada substituição, que simplifica a integral.
Vamos escolher uma substituição que torna a integral mais fácil. Seja:
Então, derivando ambos os lados em relação a :
Perceba que está presente na nossa integral, o que facilita a substituição.

Passo 4

Substituindo e na integral, temos:
Integrar em relação a é simples:
Agora, voltaremos para a variável original .

Passo 5

Como , substituímos de volta:
Portanto, a solução geral da equação diferencial é:

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é a constante de integração.

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