Aplique o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa aplicar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função
como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os pontos
onde as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
Agora, igualamos as derivadas a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 3
Observando a equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Substituindo
na equação (2):
Então, temos o ponto crítico
.
Caso 2:
Substituindo
na equação (2):
E, portanto,
, chegando novamente ao ponto crítico
.
Então, o único ponto crítico da função é
.
Passo 4
Agora, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Calculando as derivadas de segunda ordem:
No ponto crítico
, substituímos
e
:
Passo 5
Agora, calculamos o discriminante
:
Quando o discriminante
, o teste da derivada segunda é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a natureza do ponto crítico apenas com esse teste. Precisaríamos de métodos adicionais para classificar o ponto
.
No entanto, observando a função
, podemos notar que ao longo das linhas
e
, a função assume valores diferentes, indicando que
é um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico
da função
é um ponto de sela.