Aplique o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. da função: g(x, y) = x^4 + y^4 - 4 x^2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa aplicar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos da função como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os pontos onde as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais de primeira ordem:
Agora, igualamos as derivadas a zero:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 3

Observando a equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso.
Caso 1:
Substituindo na equação (2):
Então, temos o ponto crítico .
Caso 2:
Substituindo na equação (2):
E, portanto, , chegando novamente ao ponto crítico .
Então, o único ponto crítico da função é .

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teste da derivada segunda para classificar esse ponto crítico. Precisamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Calculando as derivadas de segunda ordem:
No ponto crítico , substituímos e :

Passo 5

Agora, calculamos o discriminante :
Quando o discriminante , o teste da derivada segunda é inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a natureza do ponto crítico apenas com esse teste. Precisaríamos de métodos adicionais para classificar o ponto .
No entanto, observando a função , podemos notar que ao longo das linhas e , a função assume valores diferentes, indicando que é um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico da função é um ponto de sela.

Exercícios relacionados