Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. da função: g(x, y) = x^4 + y^4 - 4 x^2 y^2.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede pra calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função .
Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são úteis quando a função tem mais de uma variável. Vamos precisar entender como diferenciar em relação a cada variável, uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
Para isso, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
Sabemos que a derivada de é , a derivada de em relação a é zero (porque é constante), e a derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a , ou seja, .
Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a :
A derivada de em relação a é zero, a derivada de é , e a derivada de é . Assim:

Passo 4

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos calcular as derivadas das derivadas que já encontramos.
Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a , ou seja, :
Em seguida, a segunda derivada parcial mista, primeiro derivando em relação a e depois a , :
Da mesma forma, a segunda derivada parcial mista também será:
Finalmente, a segunda derivada parcial em relação a , :

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função são:

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