Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem. da função:
.
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver esse exercício que pede pra calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
.
Aqui, vamos trabalhar com derivadas parciais, que são úteis quando a função tem mais de uma variável. Vamos precisar entender como diferenciar em relação a cada variável, uma de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
Para isso, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
:
Sabemos que a derivada de
é
, a derivada de
em relação a
é zero (porque
é constante), e a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de primeira ordem em relação a
, ou seja,
.
Aqui, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
:
A derivada de
em relação a
é zero, a derivada de
é
, e a derivada de
é
. Assim:
Passo 4
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos calcular as derivadas das derivadas que já encontramos.
Primeiro, a segunda derivada parcial em relação a
, ou seja,
:
Em seguida, a segunda derivada parcial mista, primeiro derivando em relação a
e depois a
,
:
Da mesma forma, a segunda derivada parcial mista
também será:
Finalmente, a segunda derivada parcial em relação a
,
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são: