Utilize coordenadas polares para combinar a soma
em uma única integral dupla. Em seguida, calcule eša integral dupla.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve somar três integrais duplas diferentes e quer juntar tudo isso em uma única integral usando coordenadas polares. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e identificar a região de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nas integrais que você tem:
Cada uma dessas integrais está definida sobre uma região diferente do plano xy. Para combiná-las, precisamos entender como essas regiões se juntam quando passamos para coordenadas polares.
Passo 3
Vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar x e y, usamos r (a distância ao ponto de origem) e θ (o ângulo em relação ao eixo x positivo). As relações são:
E o elemento de área muda para:
Isso significa que uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser convertida para polares usando essas relações.
Passo 4
Agora, precisamos identificar a região total de integração das três integrais originais. Observando os limites de integração, percebemos que estamos lidando com partes de círculos e linhas retas. Ao juntar tudo, a região se torna um setor de círculo com certos limites em r e θ.
Após analisar os limites, identificamos que r varia de $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ até 2, e θ varia de 0 até $ \frac{\pi}{4} $.
Então, a integral combinada em coordenadas polares fica:
Aqui, substituímos x por
e y por
, e incluímos o Jacobiano
.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Vamos integrar em ordem: primeiro em r, depois em θ.
Integrando em r:
Agora, a integral fica:
Integrando em θ:
Sabemos que $ \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta $, então:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{63}{64} $.