Utilize coordenadas polares para combinar a soma
integral1 / raiz2^1 integralraiz1-x^2^x x y d y d x+integral1^raiz2 integral0^x x y d y d x+integralraiz2^2 integral0^raiz1-x^2 x y d y d x
em uma única integral dupla. Em seguida, calcule eša integral dupla.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que envolve somar três integrais duplas diferentes e quer juntar tudo isso em uma única integral usando coordenadas polares. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariado, especificamente integração em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e identificar a região de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas integrais que você tem:
integral1 / raiz2^1 integralraiz1-x^2^x x y , dy , dx + integral1^raiz2 integral0^x x y , dy , dx + integralraiz2^2 integral0^raiz1-x^2 x y , dy , dx
Cada uma dessas integrais está definida sobre uma região diferente do plano xy. Para combiná-las, precisamos entender como essas regiões se juntam quando passamos para coordenadas polares.

Passo 3

Vamos lembrar como funcionam as coordenadas polares. Em vez de usar x e y, usamos r (a distância ao ponto de origem) e θ (o ângulo em relação ao eixo x positivo). As relações são:
x = r cos theta y = r sin theta
E o elemento de área muda para:
dA = r , dr , dtheta
Isso significa que uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser convertida para polares usando essas relações.

Passo 4

Agora, precisamos identificar a região total de integração das três integrais originais. Observando os limites de integração, percebemos que estamos lidando com partes de círculos e linhas retas. Ao juntar tudo, a região se torna um setor de círculo com certos limites em r e θ.
Após analisar os limites, identificamos que r varia de $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ até 2, e θ varia de 0 até $ \frac{\pi}{4} $.
Então, a integral combinada em coordenadas polares fica:
1raiz2
Aqui, substituímos x por pi4 e y por integral0^pi4 integral1raiz2^2 (r cos theta)(r sin theta) cdot r , dr , dtheta , e incluímos o Jacobiano r cos theta.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(r cos theta)(r sin theta) cdot r = r^3 cos theta sin theta
Então, a integral fica:
integral0^pi4 integral1raiz2^2 r^3 cos theta sin theta , dr , dtheta
Vamos integrar em ordem: primeiro em r, depois em θ.
Integrando em r:
integral1raiz2^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1raiz2^2 = (2)^44 - ( 1raiz2 )^44 = 164 - 116 = 4 - 116 = 6316
Agora, a integral fica:
6316 integral0^pi4 cos theta sin theta , dtheta
Integrando em θ:
Sabemos que $ \cos \theta \sin \theta = \frac{1}{2} \sin 2\theta $, então:
cos theta sin theta = 12 sin 2theta

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{63}{64} $.

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