Inverta a ordem de integraçào
(a) integral0^1 integraly^2^y+2 f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A questão nos pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração definida pelos limites atuais e depois determinar como esses limites mudam quando trocamos a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos a integral:
integral0^1 integraly^2^y+2 f(x, y) , dx , dy
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada valor de , varia de a . Para visualizar isso, imaginamos um gráfico com no eixo vertical e no eixo horizontal.

Passo 3

Vamos esboçar as curvas que definem os limites de y^2 - y - 2 = 0 Rightarrow y = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 :
  1. : é uma parábola que abre para a direita.
  2. : é uma reta com inclinação positiva.
Essas duas curvas se interceptam quando . Resolvendo essa equação:
As soluções são e . No nosso caso, varia de 0 a 1, então estamos interessados na interseção em , que está fora do nosso intervalo de integração. Portanto, dentro de , as curvas não se cruzam, e a região é delimitada por , , e .

Passo 4

Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar em termos de . Precisamos determinar para cada , quais são os valores de .
Observando os limites atuais:
  • varia de a .
  • Isso implica que e .
Precisamos encontrar os novos limites para e :
  1. Encontrar o intervalo de :
    • Quando , varia de a .
    • Quando , varia de a .
    • Portanto, varia de a .
  2. Para cada , determinar os limites de :
    • Quando :
      • varia de a .
    • Quando :
      • varia de a .

Passo 5

Com esses limites, podemos escrever a integral com a ordem invertida:
integral0^1 integraly^2^y+2 f(x, y) , dx , dy = integral0^1 integral0^raizx f(x, y) , dy , dx + integral1^3 integralx-2^raizx f(x, y) , dy , dx
Isso porque dividimos a integral em duas partes: de a e de a , ajustando os limites de de acordo com cada intervalo de .

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
integral0^1 integral0^raizx f(x, y) , dy , dx + integral1^3 integralx-2^raizx f(x, y) , dy , dx

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