Inverta a ordem de integraçào
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que foi pedido. A questão nos pede para inverter a ordem de integração de uma integral dupla. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais múltiplas. Para resolver isso, vamos precisar entender a região de integração definida pelos limites atuais e depois determinar como esses limites mudam quando trocamos a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos a integral:
Aqui,
varia de 0 a 1, e para cada valor de
,
varia de
a
. Para visualizar isso, imaginamos um gráfico com
no eixo vertical e
no eixo horizontal.
Passo 3
Vamos esboçar as curvas que definem os limites de
:
-
: é uma parábola que abre para a direita. -
: é uma reta com inclinação positiva.
Essas duas curvas se interceptam quando
. Resolvendo essa equação:
As soluções são
e
. No nosso caso,
varia de 0 a 1, então estamos interessados na interseção em
, que está fora do nosso intervalo de integração. Portanto, dentro de
, as curvas não se cruzam, e a região é delimitada por
,
,
e
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem de integração, queremos expressar
em termos de
. Precisamos determinar para cada
, quais são os valores de
.
Observando os limites atuais:
-
varia de a . - Isso implica que
e .
Precisamos encontrar os novos limites para
e
:
-
Encontrar o intervalo de
: - Quando
, varia de a . - Quando
, varia de a . - Portanto,
varia de a .
- Quando
-
Para cada
, determinar os limites de : - Quando
: -
varia de a .
-
- Quando
: -
varia de a .
-
- Quando
Passo 5
Com esses limites, podemos escrever a integral com a ordem invertida:
Isso porque dividimos a integral em duas partes: de
a
e de
a
, ajustando os limites de
de acordo com cada intervalo de
.
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é: