Aplique o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. da função: h(x, y) = e^(x^2 + y^2) - 2(x^2 + y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é usar o teste da derivada segunda para descobrir se os pontos críticos da função são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Isso envolve encontrar onde as derivadas parciais da função são zero e, depois, analisar a concavidade nesse ponto usando as derivadas segundas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Para isso, a gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e , e igualá-las a zero.
Vamos lá:
Usando a regra da cadeia:
De maneira similar para :
Agora, igualamos ambas as derivadas a zero:
Podemos fatorar e das equações:
Isso nos dá duas possibilidades para cada equação:
  1. ou
  2. que implica
Vamos analisar:
  • Se e , substituindo na segunda equação, temos . Então, o único ponto crítico é quando .
Portanto, os pontos críticos estão todos sobre o círculo de raio .

Passo 3

Agora que identificamos os pontos críticos, vamos aplicar o teste da derivada segunda. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais segundas da função .
As derivadas parciais de segunda ordem são:
E a derivada mista:

Passo 4

Com as derivadas parciais segundas em mãos, vamos calcular o determinante da matriz Hessiana (D) no ponto crítico. A matriz Hessiana é:
O determinante é calculado por:
Substituindo as derivadas no ponto crítico :
Então,

Passo 5

Com o determinante , o teste da derivada segunda fica inconclusivo. Isso significa que não podemos determinar a natureza dos pontos críticos (se são máximos, mínimos ou pontos de sela) apenas com esse teste.
Para resolver isso, precisaríamos usar outros métodos, como analisar as derivadas de ordem superior ou examinar o comportamento da função em torno dos pontos críticos. Porém, com a informação fornecida, não podemos classificar os pontos críticos usando apenas o teste da derivada segunda.

Resposta

O teste da derivada segunda é inconclusivo para os pontos críticos da função . Portanto, não é possível classificar os pontos críticos como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela apenas com esse método.

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