Calcule as seguintes integrais:
, sobre o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular
sobre o retângulo
. A gente vai usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem pra calcular o volume sob uma superfície ou a soma acumulada de uma função sobre uma região. Aqui, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e integrar em duas variáveis,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Ela é um retângulo definido por
variando de 0 a 1 e
variando de 0 a 2. Isso significa que nossos limites de integração para
são de 0 a 1 e para
de 0 a 2.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Podemos integrar primeiro em
e depois em
, ou vice-versa. Vou integrar primeiro em
:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, ou seja, integrar
em relação a
:
Agora, nossa integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral restante em
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.