Calcule as seguintes integrais: integral duplaR x y d x d y, sobre o retângulo R=[0,1] times[0,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que pede para calcular sobre o retângulo . A gente vai usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, que servem pra calcular o volume sob uma superfície ou a soma acumulada de uma função sobre uma região. Aqui, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e integrar em duas variáveis, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Ela é um retângulo definido por variando de 0 a 1 e variando de 0 a 2. Isso significa que nossos limites de integração para são de 0 a 1 e para de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla de forma iterada. Podemos integrar primeiro em integral0^2 ( integral0^1 x y , dx ) dy e depois em , ou vice-versa. Vou integrar primeiro em :

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, ou seja, integrar integral0^1 x y , dx = y integral0^1 x , dx = y [ x^22 ]0^1 = y ( 12 - 0 ) = y2 em relação a integral0^2 y2 , dy :
Agora, nossa integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral restante em integral0^2 y2 , dy = 12 integral0^2 y , dy = 12 [ y^22 ]0^2 = 12 ( 42 - 0 ) = 12 times 2 = 1 :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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