Calcule integral duplaD f(x, y) d x d y, sendo dados: f(x, y)=y x e e D=D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 2, y <= x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por , e . Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração dupla em coordenadas cartesianas e possivelmente polares. Vamos precisar entender bem a região de integração e escolher a melhor forma de parametrizá-la para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A desigualdade representa um círculo centrado na origem com raio . A condição significa que estamos na região abaixo da reta , e limita isso ao lado direito do eixo . Então, é uma parte do círculo onde é positivo e está abaixo de .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e o elemento de área vira . Além disso, a função se transforma em .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio vai de 0 a . O ângulo precisa cobrir a região onde e . A reta em coordenadas polares corresponde a . Como queremos e , varia de a .

Passo 5

Vamos montar a integral:
integral duplaD yx ,dx,dy = integral-pi4^pi4 integral0^raiz2 r^2 sintheta costheta cdot r ,dr,dtheta = integral-pi4^pi4 sintheta costheta integral0^raiz2 r^3 ,dr,dtheta
Primeiro, resolvemos a integral em integral0^raiz2 r^3 ,dr = [ r^44 ]0^raiz2 = (raiz2)^44 = 44 = 1 :
integral-pi4^pi4 sintheta costheta cdot 1 ,dtheta = integral-pi4^pi4 sintheta costheta ,dtheta
Então, a integral fica:
12 integral-pi4^pi4 sin(2theta) ,dtheta = 12 [ -cos(2theta)2 ]-pi4^pi4 = -14 [ cos(pi2) - cos(-pi2) ] = -14 (0 - 0) = 0
Essa integral pode ser resolvida usando a identidade :

Resposta

A integral dupla é igual a 0.

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