Calcule
, sendo dados:
e e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é definida por
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariado, especificamente integração dupla em coordenadas cartesianas e possivelmente polares. Vamos precisar entender bem a região de integração e escolher a melhor forma de parametrizá-la para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A desigualdade
representa um círculo centrado na origem com raio
. A condição
significa que estamos na região abaixo da reta
, e
limita isso ao lado direito do eixo
. Então,
é uma parte do círculo onde
é positivo e
está abaixo de
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
. Além disso, a função
se transforma em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de integração. O raio
vai de 0 a
. O ângulo
precisa cobrir a região onde
e
. A reta
em coordenadas polares corresponde a
. Como queremos
e
,
varia de
a
.
Passo 5
Vamos montar a integral:
Primeiro, resolvemos a integral em
:
Então, a integral fica:
Essa integral pode ser resolvida usando a identidade
:
Resposta
A integral dupla
é igual a 0.