(0,3) Aplique o Teste de Hipótese para uma amostra de n=10 dados relacionada abaixo:
3.80,4.63,4.88,4.58,4.95,4.76,4.37,5.66,4.31,4.06
Admita \mu=4.2 e o nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado pede um teste de hipótese para a média de uma população quando o desvio-padrão populacional é desconhecido. Temos uma amostra de tamanho n=10 com os dados
3{,}80,\;4{,}63,\;4{,}88,\;4{,}58,\;4{,}95,\;4{,}76,\;4{,}37,\;5{,}66,\;4{,}31,\;4{,}06
e queremos testar
H_0:\mu=4{,}2 \quad\text{versus}\quad H_1:\mu\neq4{,}2
ao nível de significância \alpha=0{,}05. Como \sigma é desconhecida, vamos usar o teste t de Student com n-1=9 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x:
\bar x =\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i =\frac{46{,}00}{10} =4{,}60.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Primeiro a soma dos quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2 \approx2{,}42.
Então
s^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar x)^2 =\frac{2{,}42}{9} \approx0{,}2689, \quad s\approx\sqrt{0{,}2689}\approx0{,}52.

Passo 4

Calcular a estatística de teste
T =\frac{\bar x-\mu_0}{s/\sqrt{n}} =\frac{4{,}60-4{,}20}{0{,}52/\sqrt{10}} \approx\frac{0{,}40}{0{,}164} \approx2{,}44.

Passo 5

Para \alpha=0{,}05 e 9 graus de liberdade, o valor crítico de t no teste bilateral é
t_{0{,}975,\,9}\approx2{,}262.
Como \lvert T\rvert=2{,}44>2{,}262, caímos na região de rejeição de H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%; ou seja, há evidência estatística de que \mu\neq4{,}2.

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