Um pesquisador está interessado em estimar a idade média em que os jovens começam a beber. Com base em pesquisas anteriores, sabe-se que a idade com que o jove começa a beber apresenta distribuição normal com desvio padrão populacional de 1,5 ano. Uma amostra de 25 jovens, aleatoriamente selecionados, forneceu idade média de 15,6 anos.
Construa um intervalo de 99 \% de confiança para estimar a média em que os jovens começam a beber.

Passo 1

O enunciado diz que queremos estimar a idade média em que os jovens começam a beber, sabendo que essa idade segue distribuição normal com desvio padrão populacional \sigma=1,5 ano. Uma amostra de tamanho n=25 deu média amostral \bar{x}=15,6 anos. Como \sigma é conhecido e a população é normal, vamos construir um intervalo de confiança para a média.

Passo 2

Para \sigma conhecido e amostra de tamanho n, o intervalo de confiança de nível 100(1-\alpha)\% é dado por
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Aqui queremos 99\%, logo \alpha=0,01 e \alpha/2=0,005.

Passo 3

O valor crítico z_{\alpha/2} corresponde ao quantil da distribuição normal padrão que deixa área 0,005 numa cauda. Esse valor é aproximadamente
z_{0,005} = 2,5758.

Passo 4

Calculemos o erro-padrão da média amostral:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1,5}{\sqrt{25}} = \frac{1,5}{5} = 0,3.

Passo 5

O valor da margem de erro é
E = z_{0,005}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,5758 \times 0,3 \approx 0,773.

Passo 6

Então o intervalo de confiança é
15,6 - 0,773 \;\le\; \mu \;\le\; 15,6 + 0,773,
ou seja
14,827 \le \mu \le 16,373.

Passo 7

Arredondando para duas casas decimais, concluímos que com 99\% de confiança a verdadeira média está entre 14,83 e 16,37 anos.

Resposta

[\,14,83,\;16,37\,]\text{ anos}

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