Um pesquisador está interessado em estimar a idade média em que os jovens começam a beber. Com base em pesquisas anteriores, sabe-se que a idade com que o jove começa a beber apresenta distribuição normal com desvio padrão populacional de 1,5 ano. Uma amostra de 25 jovens, aleatoriamente selecionados, forneceu idade média de 15,6 anos.
Construa um intervalo de 90 \% de confiança para estimar a média em que os jovens começam a beber.

Passo 1

O enunciado informa que a variável “idade em que os jovens começam a beber” é normalmente distribuída com desvio-padrão populacional conhecido \sigma = 1,5 anos. Foi coletada uma amostra de tamanho n = 25 com média amostral \bar{x} = 15,6 anos. Queremos construir um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu.

Passo 2

Quando o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, o intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão que deixa área \alpha/2 em cada cauda.

Passo 3

Para nível de confiança de 90\% temos \alpha = 0,10 e \alpha/2 = 0,05. O valor crítico correspondente é
z_{0,05} = 1,645.

Passo 4

Calculemos o erro-padrão e a margem de erro:
\text{Erro-padrão} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{1,5}{\sqrt{25}} = \frac{1,5}{5} = 0,3.ã
\text{Margem de erro} = z_{0,05}\times 0,3 = 1,645 \times 0,3 = 0,4935.

Passo 5

Agora obtemos os limites do intervalo:
\text{Limite inferior} = \bar{x} - 0,4935 = 15,6 - 0,4935 = 15,1065,
\text{Limite superior} = \bar{x} + 0,4935 = 15,6 + 0,4935 = 16,0935.

Resposta

O intervalo de confiança de 90\% para a média da idade em que os jovens começam a beber é aproximadamente
\bigl[\,15,11;\,16,09\bigr]\text{ anos.}

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