Aplique o Teste da Raíz para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
sumk=2^infty 1k^1+k,

Passo 1

Temos a série
sumk=2^infty 1k^1+k,
e queremos usar o Teste da Raiz, que diz: se
L = limktoinfty raiz[k]l|akr|
então
  • se L<1, a série converge absolutamente;
  • se L>1, diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui ak = 1/k^1+k.

Passo 2

Calculemos a k-ésima raiz do termo geral:
raiz[k]ak = raiz[k]1k^1+k = l(k^1+kr)^-1/k = k^-tfrac1+kk = k^-l(1+tfrac1kr)
Podemos escrever ainda
k^-l(1+tfrac1kr) = k^-1cdot k^-1/k = 1k,1k^1/k

Passo 3

Agora avaliamos o limite quando ktoinfty. Sabemos que
limktoinftyk^1/k=1,
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limktoinftyraiz[k]ak = limktoinfty1k,1k^1/k = limktoinfty1kcdot1 = 0

Passo 4

Como o limite L=0 é menor que 1, o Teste da Raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge.

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