2^a Questão: Esboce a região de integração e calcule a integral:
integral0^2 integralraiz4-x^2^raiz9-x^2 y d y d x+integral2^3 integral0^raiz9-x^2 y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região de integração no primeiro quadrante e calcular
integral0^2integralraiz4-x^2^raiz9-x^2y,dy,dx +integral2^3integral0^raiz9-x^2y,dy,dx
O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, pois as fronteiras são por arcos de círculos de raios 2 e 3.

Passo 2

Vamos entender a região D.
  • Para 0<= x<=2, temos raiz4-x^2<= y<=raiz9-x^2, ou seja, pontos entre o círculo de raio 2 e o de raio 3.
  • Para 2<= x<=3, temos 0<= y<=raiz9-x^2, que é exatamente a parte do círculo de raio 3 no primeiro quadrante.
    Juntando, D é o anel em coordenadas polares dado por
2<= r<=3, 0<=theta<=tfracpi2

Passo 3

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e a função y vira rsintheta. Assim a integral sobre D é
integral duplaDy,dA =integral0^pi2integral2^3l(rsinthetar),r,dr,dtheta =integral0^pi2integral2^3r^2sintheta,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a parte em r:
integral2^3r^2,dr =l[r^33r]2^3 =27-83 =193
A integral torna-se
193integral0^pi2sintheta,dtheta

Passo 5

Agora a parte em theta:
integral0^pi2sintheta,dtheta =l[-costhetar]0^pi2 =1
Portanto o valor da integral total é
193times1 =193

Resposta

193

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