Questão: Esboce a região de integração e calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região de integração no primeiro quadrante e calcular
O conteúdo principal é mudança para coordenadas polares, pois as fronteiras são por arcos de círculos de raios 2 e 3.
Passo 2
Vamos entender a região
.
- Para
, temos , ou seja, pontos entre o círculo de raio 2 e o de raio 3. - Para
, temos , que é exatamente a parte do círculo de raio 3 no primeiro quadrante.
Juntando,é o anel em coordenadas polares dado por
Passo 3
Em coordenadas polares fazemos
e a função
vira
. Assim a integral sobre
é
Passo 4
Calculemos primeiro a parte em
:
A integral torna-se
Passo 5
Agora a parte em
:
Portanto o valor da integral total é