Exercício 5. Mostre, utilizando a definição
, as propriedades abaixo.
Sendo
, I intervalo aberto, funções tais que
, então
Sendo
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição com
, que se
e
, então
e
Vamos aplicar diretamente a definição de limite: para cada
encontramos um
que garanta a desigualdade desejada sempre que
.
Passo 2
Prova da soma.
Dado , pela hipótese
existe
tal que
Dado
De modo análogo, pela hipótese
existe
tal que
Definindo
, se
então simultaneamente
e
. Logo,
Assim
.
Passo 3
Preparação para o produto.
Para controlar precisamos que
fique limitado perto de
. Como
, escolhemos
tal que
Para controlar
Em seguida, dado
, pela hipótese
existe
tal que
E pela hipótese
existe
tal que
Definimos
.
Passo 4
Demonstração da propriedade do produto.
Se , então
,
e
. Agora,
Se
Substituindo as cotas:
logo
Isso mostra
.
Resposta
Mostramos, via definição
, que