Exercício 5. Mostre, utilizando a definição operatornamecom varepsilon, de<a, as propriedades abaixo.
Sendo f, g: I subset(R backslashp) R, I intervalo aberto, funções tais que lim x p f(x)=L e lim g(x)=K, então
lim x p[f(x)+g(x)]=L+K e lim x p[f(x) g(x)]=L K ;

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição com varepsilon,de<a, que se
limxto pf(x)=L e limxto pg(x)=K, então
limxto p[f(x)+g(x)]=L+K
e
limxto p[f(x),g(x)]=L,K
Vamos aplicar diretamente a definição de limite: para cada varepsilon>0 encontramos um de<a>0 que garanta a desigualdade desejada sempre que 0<|x-p|<de<a.

Passo 2

Prova da soma.
Dado varepsilon>0, pela hipótese limxto pf(x)=L existe de<a1>0 tal que
0<|x-p|<de<a1Longrightarrow|f(x)-L|<varepsilon2
De modo análogo, pela hipótese limxto pg(x)=K existe de<a2>0 tal que
0<|x-p|<de<a2Longrightarrow|g(x)-K|<varepsilon2
Definindo de<a=min(de<a1,de<a2), se 0<|x-p|<de<a então simultaneamente |f(x)-L|<varepsilon/2 e |g(x)-K|<varepsilon/2. Logo,
|(f(x)+g(x))-(L+K)| = |f(x)-L + g(x)-K| <= |f(x)-L| + |g(x)-K| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
Assim limxto p[f(x)+g(x)]=L+K.

Passo 3

Preparação para o produto.
Para controlar |f(x),g(x)-L,K| precisamos que f(x) fique limitado perto de p. Como limxto pf(x)=L, escolhemos de<a1>0 tal que
0<|x-p|<de<a1Longrightarrow|f(x)-L|<1 Longrightarrow|f(x)|<|L|+1
Em seguida, dado varepsilon>0, pela hipótese limxto pg(x)=K existe de<a2>0 tal que
0<|x-p|<de<a2Longrightarrow|g(x)-K|<varepsilon2(|L|+1)
E pela hipótese limxto pf(x)=L existe de<a3>0 tal que
0<|x-p|<de<a3Longrightarrow|f(x)-L|<varepsilon2|K|
Definimos de<a=min(de<a1,de<a2,de<a3).

Passo 4

Demonstração da propriedade do produto.
Se 0<|x-p|<de<a, então |f(x)|<|L|+1, |g(x)-K|<varepsilon/[2(|L|+1)] e |f(x)-L|<varepsilon/(2|K|). Agora,
|f(x),g(x)-L,K| = |f(x),(g(x)-K) + K,(f(x)-L)| <= |f(x)|,|g(x)-K| + |K|,|f(x)-L|
Substituindo as cotas:
|f(x)|,|g(x)-K| < (|L|+1),varepsilon2(|L|+1) = varepsilon2,
|K|,|f(x)-L| < |K|,varepsilon2|K| = varepsilon2,
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|f(x),g(x)-L,K| < varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
Isso mostra limxto p[f(x),g(x)]=L,K.

Resposta

Mostramos, via definição varepsilon,de<a, que
limxto p[f(x)+g(x)]=L+K e limxto p[f(x),g(x)]=L,K

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