Aplique o Teste da Razão para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
sumk=1^infty 2^k+1k 3^k-1,

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Teste da Razão na série
sumk=1^infty 2^k+1k,3^k-1
O conteúdo é o critério de razão de Cauchy, que diz: se
L = limktoinfty |ak+1ak|,
então a série converge absolutamente se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Denotando
ak = 2^k+1k,3^k-1,
vamos calcular a razão
ak+1ak.

Passo 3

Primeiro escrevemos
ak+1 = 2^(k+1)+1(k+1),3^(k+1)-1 = 2^k+2(k+1),3^k
Logo,
ak+1ak = 2^k+2(k+1),3^k 2^k+1k,3^k-1 = 2^k+22^k+1;kk+1;3^k-13^k = 2;kk+1;13 = 23,kk+1

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ktoinfty:
L = limktoinftyak+1ak = limktoinfty23,kk+1 = 23cdot1 = 23
Como L=tfrac23<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty2^k+1k,3^k-1 converge (convergência absoluta) pelo Teste da Razão.

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