Exercício 5. Mostre, utilizando a definição operatornamecom varepsilon, de<a, as propriedades abaixo.
A função valor absoluto, |cdot|, é contínua.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar que a função
fcolon RtoR, f(x)=|x|
é contínua em todo ponto x0inR usando a definição varepsilon,de<a. Ou seja, para cada varepsilon>0 devemos encontrar de<a>0 tal que, sempre que |x-x0|<de<a, então |f(x)-f(x0)|<varepsilon.

Passo 2

Fixe um ponto x0inR e tome um varepsilon>0. Precisamos achar de<a>0 de modo que
|f(x)-f(x0)| = l|,|x| - |x0|,r| < varepsilon
sempre que |x-x0|<de<a.

Passo 3

Usamos a desigualdade triangular reversa, que para quaisquer a,binR diz
l|,|a| - |b|,r| <= |a-b|
Aplicando com a=x e b=x0 obtemos
l|,|x| - |x0|,r| <= |x - x0|

Passo 4

Basta então escolher
de<a = varepsilon
Com essa escolha, se |x-x0|<de<a então
l|,|x| - |x0|,r| <= |x-x0| < de<a = varepsilon,
o que mostra que f é contínua em x0.

Resposta

A função f(x)=|x| é contínua em todo ponto de R, pois para cada varepsilon>0 basta tomar de<a=varepsilon para satisfazer a definição varepsilon,de<a.

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