Exercício 5. Mostre, utilizando a definição
, as propriedades abaixo.
A função valor absoluto,
, é contínua.
A função valor absoluto,
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos provar que a função
é contínua em todo ponto
usando a definição
. Ou seja, para cada
devemos encontrar
tal que, sempre que
, então
.
Passo 2
Fixe um ponto
e tome um
. Precisamos achar
de modo que
sempre que
|x-x0|<de<a .
Passo 3
Usamos a desigualdade triangular reversa, que para quaisquer
a,binR diz
Aplicando com
a=x e
b=x0 obtemos
Passo 4
Basta então escolher
Com essa escolha, se
|x-x0|<de<a então
o que mostra que
f é contínua em
x0 .
Resposta
A função
f(x)=|x| é contínua em todo ponto de
R , pois para cada
varepsilon>0 basta tomar
de<a=varepsilon para satisfazer a definição
varepsilon,de<a .