Determine se a série geométrica dada é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma.
sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=0^infty 3^n+1(-2)^n, que é uma série geométrica. Vamos usar o critério de convergência de séries geométricas e, se convergente, calcular sua soma.

Passo 2

Reescrevendo o termo geral em forma padrão de série geométrica: extraímos o fator 3 e vemos que

Passo 3

3^n+1(-2)^n=3cdot3^n(-2)^n=3cdotl(3-2r)^n=3,(-tfrac32)^n

Passo 4

Na forma sumn=0^infty a,r^n, aqui a=3 e r=-tfrac32.

Passo 5

O critério diz que uma série geométrica converge só se |r|<1. Calculamos

Passo 6

|r|=l| -tfrac32r|=tfrac32>1

Passo 7

Como |r|>1, a série é divergente e não possui soma finita.

Resposta

A série é divergente, pois a razão tem módulo maior que 1 ( |r|=3/2>1).

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