1. Aplique o teste da segunda derivada em f(x)=x^3-6 x^2+5 para analisar concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada na função
f(x)=x^3-6x^2+5
para determinar onde f é côncava para cima ou para baixo e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar de f'(x), f''(x), resolver f''(x)=0 e analisar o sinal de f''(x).

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivadas:
f'(x)=ddxl(x^3-6x^2+5r)=3x^2-12x,
f''(x)=ddxl(3x^2-12xr)=6x-12

Passo 3

Determinamos onde a concavidade pode mudar, resolvendo
f''(x)=6x-12=0 ;Longrightarrow; x=2
Agora avaliamos o sinal de f''(x):
  • Para x<2, 6x-12<0, logo f''(x)<0 e f é côncava para baixo.
  • Para x>2, 6x-12>0, logo f''(x)>0 e f é côncava para cima.

Passo 4

O ponto x=2 é candidato a ponto de inflexão. Calculamos f(2):
f(2)=2^3-6cdot2^2+5=8-24+5=-11
Como a concavidade troca nesse x, (2,-11) é ponto de inflexão.

Resposta

A função é
– côncava para baixo em (-infty,2),
– côncava para cima em (2,infty),
e possui ponto de inflexão em l(2,-11r).

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