Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto. Considere
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar soluções do tipo produto da PDE
no retângulo
. O método de separação de variáveis consiste em assumir
e reduzir a PDE a duas EDOs acopladas por uma constante de separação.
Passo 2
Substituindo
na PDE, temos
e, dividindo por
(supondo
e
não nulas),
Como o primeiro termo depende só de
e o segundo só de
, cada um deve ser igual a uma constante
, com sinais trocados:
Passo 3
Das igualdades acima surgem as EDOs separadas:
A constante
pode ser positiva, zero ou negativa, levando a três casos distintos de solução para cada EDO.
Passo 4
Resolvendo a EDO em
:
- Se
, seja . Então
- Se
,
- Se
, seja . Então
Passo 5
Resolvendo a EDO em
, que é uma equação de Euler modificada:
Buscamos
. Substituindo,
Portanto, para
,
Se
, obtemos
e
Passo 6
Juntando
e
, as soluções separáveis em produto são, em cada caso de
:
-
, :
-
:
-
, :
Resposta
As soluções na forma de produto são dadas pelas famílias acima, parametrizadas pela constante de separação
e pelas constantes de integração
.