Utilize o método de separação de variáveis para encontrar, se possível, soluções na forma de produto. Considere (x, y) \in[0, a] \times[0, b].
x^{2} u_{x x}+u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar soluções do tipo produto da PDE
x^{2}\,u_{xx}+u_{yy}=0
no retângulo [0,a]\times[0,b]. O método de separação de variáveis consiste em assumir
u(x,y)=X(x)\,Y(y)
e reduzir a PDE a duas EDOs acopladas por uma constante de separação.

Passo 2

Substituindo u(x,y)=X(x)Y(y) na PDE, temos
x^{2}\bigl(X''(x)Y(y)\bigr)+\bigl(X(x)Y''(y)\bigr)=0
e, dividindo por X(x)Y(y) (supondo X e Y não nulas),
x^{2}\,\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Como o primeiro termo depende só de x e o segundo só de y, cada um deve ser igual a uma constante \lambda, com sinais trocados:
x^{2}\,\frac{X''(x)}{X(x)}=\lambda, \quad \frac{Y''(y)}{Y(y)}=-\lambda.

Passo 3

Das igualdades acima surgem as EDOs separadas:
x^{2}X''(x)-\lambda\,X(x)=0, \qquad Y''(y)+\lambda\,Y(y)=0.
A constante \lambda pode ser positiva, zero ou negativa, levando a três casos distintos de solução para cada EDO.

Passo 4

Resolvendo a EDO em y:
  • Se \lambda>0, seja k=\sqrt{\lambda}. Então
Y''+\lambda Y=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(y)=C\cos(ky)+D\sin(ky).
  • Se \lambda=0,
Y''=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(y)=C+Dy.
  • Se \lambda<0, seja \mu=\sqrt{-\lambda}. Então
Y''-\mu^{2}Y=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(y)=C\,e^{\mu y}+D\,e^{-\mu y}.

Passo 5

Resolvendo a EDO em x, que é uma equação de Euler modificada:
x^{2}X''-\lambda X=0.
Buscamos X(x)=x^{m}. Substituindo,
m(m-1)x^{m}-\lambda x^{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad m(m-1)-\lambda=0 \quad\Longrightarrow\quad m=\frac{1\pm\sqrt{1+4\lambda}}{2}.
Portanto, para \lambda\neq0,
X(x)=A\,x^{m_{1}}+B\,x^{m_{2}}, \quad m_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1+4\lambda}}{2}.
Se \lambda=0, obtemos m(m-1)=0\Rightarrow m=0,1 e
X(x)=A+Bx.

Passo 6

Juntando X e Y, as soluções separáveis em produto são, em cada caso de \lambda:
  • \lambda>0, k=\sqrt{\lambda}:
u(x,y)=\bigl(A\,x^{\frac{1+\sqrt{1+4\lambda}}{2}}+B\,x^{\frac{1-\sqrt{1+4\lambda}}{2}}\bigr) \,(C\cos(ky)+D\sin(ky)).
  • \lambda=0:
u(x,y)=(A+Bx)\,(C+Dy).
  • \lambda<0, \mu=\sqrt{-\lambda}:
u(x,y)=\bigl(A\,x^{\frac{1+\sqrt{1-4\mu^{2}}}{2}}+B\,x^{\frac{1-\sqrt{1-4\mu^{2}}}{2}}\bigr) \,(C\,e^{\mu y}+D\,e^{-\mu y}).

Resposta

As soluções na forma de produto são dadas pelas famílias acima, parametrizadas pela constante de separação \lambda e pelas constantes de integração A,B,C,D.

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