Aplique a transformada de Laplace na equação para obter a função f(t):
f(t)=3 t^2-e^-t-integral0^t f(x) e^t-x d x

Passo 1

Vamos resumir: precisamos encontrar a função f(t) que satisfaz a equação integral f(t)=3t^2 - e^-t - integral0^tf(x)e^t-xdx. O conteúdo principal aqui é usar a transformada de Laplace para converter a equação integral em uma equação algébrica em s, isolar F(s)=Lf(t)(s) e depois voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados, lembrando que L3t^2=6/s^3 e Le^-t=1/(s+1), obtemos:
F(s)=6s^3-1s+1-Lintegral0^tf(x)e^t-xdx(s)

Passo 3

Para o termo integral note que ele é uma convolução do tipo (f*h)(t)=integral0^tf(tau)h(t-tau)dtau com h(u)=e^u. Logo, pela propriedade da convolução,
Lintegral0^tf(x)e^t-xdx(s)=F(s)cdot1s-1

Passo 4

Substituindo na equação de F(s) e fatorando em F(s):
F(s)=6s^3-1s+1-F(s)s-1Longrightarrow F(s)l(1+1s-1r)=6s^3-1s+1

Passo 5

Observando que 1+1/(s-1)=(s)/(s-1), temos
F(s)=l(6s^3-1s+1r)s-1s

Passo 6

Agora expandimos em frações parciais e simplificamos:
F(s)=1s+6s^3-6s^4-2s+1

Passo 7

Por fim, aplicando a transformada inversa de cada termo: L^-11/s=1, L^-16/s^3=3t^2, L^-1-6/s^4=-t^3 e L^-1-2/(s+1)=-2e^-t. Portanto, f(t)=1 + 3t^2 - t^3 - 2e^-t

Resposta

f(t)=1+3t2-t3-2e^{-t}

Exercícios relacionados