Aplique a transformada de Laplace na equação para obter a função
:
Passo 1
Vamos resumir: precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação integral
. O conteúdo principal aqui é usar a transformada de Laplace para converter a equação integral em uma equação algébrica em
, isolar
e depois voltar ao domínio do tempo.
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace nos dois lados, lembrando que
e
, obtemos:
Passo 3
Para o termo integral note que ele é uma convolução do tipo
com
. Logo, pela propriedade da convolução,
Passo 4
Substituindo na equação de
e fatorando em
:
Passo 5
Observando que
, temos
Passo 6
Agora expandimos em frações parciais e simplificamos:
Passo 7
Por fim, aplicando a transformada inversa de cada termo:
,
,
e
. Portanto,
Resposta
f(t)=1+3t2-t3-2e^{-t}