Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de
equações diferenciais.
l d^2 xd t^2+3 d yd t+3 y=0 d^2 xd t^2+3 y=t e^-t x(0)=0, x^prime(0)=2, y(0)=0

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações diferenciais
x''(t) + 3,y'(t) + 3,y(t) = 0, x''(t) + 3,y(t) = t,e^-t,
com condições iniciais x(0)=0, x'(0)=2, y(0)=0.
Vamos aplicar a transformada de Laplace a cada equação, usar X(s)=Lx(t) e Y(s)=Ly(t), resolver o sistema algébrico em X(s) e Y(s) e inverter.

Passo 2

Transformando a primeira equação:
Lx'' + 3,Ly' +3,Ly=0
Como Lx''=s^2X(s)-s,x(0)-x'(0)=s^2X(s)-2 e Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s), obtemos
s^2X(s)-2 ;+;3,s,Y(s);+;3,Y(s)=0 Longrightarrow s^2X(s)+3,(s+1),Y(s)=2

Passo 3

Transformando a segunda equação:
Lx''+3,Ly =Lt,e^-t
Temos Lx''=s^2X(s)-2 e Lt,e^-t=tfrac1(s+1)^2, logo
s^2X(s)-2 +3,Y(s)=1(s+1)^2 Longrightarrow s^2X(s)+3,Y(s) =2+1(s+1)^2
Assim formamos o sistema linear em X(s),Y(s):
s^2X +3(s+1)Y=2, s^2X +3Y=2+1(s+1)^2

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar X(s):
3l[(s+1)-1r]Y=-1(s+1)^2 ;Longrightarrow; 3s,Y(s)=-1(s+1)^2 ;Longrightarrow; Y(s)=-13s,(s+1)^2
Em seguida, substituímos Y(s) em s^2X+3Y=2+tfrac1(s+1)^2:
s^2X(s) =2+1(s+1)^2-3l(-13s(s+1)^2r) =2+1(s+1)^2+1s,(s+1)^2,
X(s) =2s(s+1)^2 + s +1s^3,(s+1)^2 =2s^3+4s^2+3s+1s^3,(s+1)^2

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais de Y(s):
Y(s)=-13s,(s+1)^2 =As+Bs+1+C(s+1)^2
Determinação rápida dá A=-tfrac13, B=tfrac13, C=tfrac13.
Logo
Y(s)=-13,1s+13,1s+1+13,1(s+1)^2
Invertendo:
y(t)=-tfrac13 + tfrac13e^-t + tfrac13,t,e^-t =(t+1)e^-t-13

Passo 6

Decompondo
X(s)=2s^3+4s^2+3s+1s^3,(s+1)^2 =As+Bs^2+Cs^3+Ds+1+E(s+1)^2,
obtemos A=1, B=1, C=1, D=-1, E=0.
Então
X(s)=1s+1s^2+1s^3-1s+1
Invertendo:
x(t)=1 + t + t^22 - e^-t

Resposta

x(t) = 1 + t + t^22 - e^-t
y(t) = (t + 1)e^-t - 13

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