1. Aplique o TVM para f(x)=raizx em [1,4] e determine c.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o Teorema do Valor Médio (TVM) à função
f(x)=raizx no intervalo [1,4] e encontrar um ponto cin(1,4) que satisfaz a conclusão do teorema. Vamos precisar verificar as hipóteses de continuidade e diferenciabilidade, calcular a taxa média de variação e igualá-la à derivada em c.

Passo 2

Primeiro, conferimos as hipóteses do TVM: a função f(x)=raizx é contínua em [1,4] e derivável em (1,4). Calculamos a derivada:
f'(x)=ddxl(x^1/2r)=12raizx

Passo 3

Em seguida, calculamos a taxa média de variação de f entre x=1 e x=4:
f(4)-f(1)4-1 =2-13 =13

Passo 4

Pelo TVM, existe cin(1,4) tal que
f'(c)=12raizc =13
Resolvendo essa equação temos
2raizc=3 Longrightarrow raizc=32 Longrightarrow c=l(32r)^2=94

Resposta

c=tfrac94

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