1. Verifique se f(x)=x^3-4 x satisfaz o Teorema de Rolle em [-2,2]. Se sim, encontre c.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x)=x^3-4x satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo [-2,2] e, em caso afirmativo, encontrar cin(-2,2) tal que f'(c)=0. Para aplicar o Teorema de Rolle precisamos que
  1. f seja contínua em [-2,2],
  2. f seja derivável em (-2,2),
  3. f(-2)=f(2).

Passo 2

A função f(x)=x^3-4x é um polinômio, logo é contínua e derivável em R, em particular em [-2,2].

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos do intervalo:
f(-2)=(-2)^3-4(-2)=-8+8=0,
f(2)=2^3-4cdot2=8-8=0
Como f(-2)=f(2), todas as hipóteses do Teorema de Rolle estão satisfeitas.

Passo 4

Calculamos a derivada de f e resolvemos f'(x)=0:
f'(x)=3x^2-4,
3x^2-4=0 Longrightarrow x^2=43 Longrightarrow x=pm2raiz3
Ambos os valores pm2raiz3 pertencem a (-2,2), de modo que são os pontos procurados.

Resposta

A função satisfaz o Teorema de Rolle em [-2,2] e os pontos em que f'(c)=0 são
c=-2raiz3 e c=2raiz3

Exercícios relacionados