Represente graficamente a função dada em coordenada polares expressa por: r=3+3 cos (t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico da função em coordenadas polares expressa por r = 3 + 3 cos(t) . Isso está relacionado ao estudo de coordenadas polares, que é uma maneira de representar pontos no plano usando um ângulo t e uma distância r do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação em um gráfico e identificar que tipo de curva ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação r = 3 + 3 cos(t) . Nessa forma, r depende do ângulo t , e o termo cos(t) sugere que a curva terá simetria em relação ao eixo polar (o eixo horizontal no sistema polar).

Passo 3

Para traçar o gráfico, vamos calcular alguns valores de r para diferentes valores de t entre 0 e 2pi (ou 0 a 360 graus). Isso nos dará pontos que podemos plotar no sistema polar.
Por exemplo:
  • Quando t = 0 :
    r = 3 + 3 cos(0) = 3 + 3(1) = 6
  • Quando t = pi/2 :
    r = 3 + 3 cos(pi/2) = 3 + 3(0) = 3
  • Quando t = pi :
    r = 3 + 3 cos(pi) = 3 + 3(-1) = 0
  • Quando t = 3pi/2 :
    r = 3 + 3 cos(3pi/2) = 3 + 3(0) = 3
  • Quando t = 2pi :
    r = 3 + 3 cos(2pi) = 3 + 3(1) = 6

Passo 4

Com esses pontos, percebemos que a distância r varia entre 0 e 6. No entanto, para entender melhor o formato da curva, vamos identificar o tipo de gráfico que essa equação representa.
A equação r = a + b cos(t) geralmente representa um cardioide quando a = b . Um cardioide é uma curva em forma de coração, simétrica em relação ao eixo polar.

Passo 5

Agora, vamos plotar os pontos calculados e traçar a curva que passa por eles:
  1. Para t = 0 e t = 2pi , r = 6 → ponto mais à direita no eixo polar.
  2. Para t = pi/2 e t = 3pi/2 , r = 3 → pontos acima e abaixo do eixo polar a uma distância de 3 unidades.
  3. Para t = pi , r = 0 → a origem.
Ligando esses pontos e preenchendo os valores intermediários, obtemos um cardioide.

Resposta

O gráfico da função r = 3 + 3 cos(t) em coordenadas polares é um cardioide simétrico em relação ao eixo polar, com ponto mais distante a 6 unidades da origem e ponto mais próximo na origem. Ele tem a forma de um coração esticado ao longo do eixo horizontal.

Exercícios relacionados