Represente graficamente a função dada em coordenada polares expressa por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico da função em coordenadas polares expressa por
. Isso está relacionado ao estudo de coordenadas polares, que é uma maneira de representar pontos no plano usando um ângulo
e uma distância
do ponto até a origem. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa equação em um gráfico e identificar que tipo de curva ela representa.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Nessa forma,
depende do ângulo
, e o termo
sugere que a curva terá simetria em relação ao eixo polar (o eixo horizontal no sistema polar).
Passo 3
Para traçar o gráfico, vamos calcular alguns valores de
para diferentes valores de
entre 0 e
(ou 0 a 360 graus). Isso nos dará pontos que podemos plotar no sistema polar.
Por exemplo:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 4
Com esses pontos, percebemos que a distância
varia entre 0 e 6. No entanto, para entender melhor o formato da curva, vamos identificar o tipo de gráfico que essa equação representa.
A equação
geralmente representa um cardioide quando
. Um cardioide é uma curva em forma de coração, simétrica em relação ao eixo polar.
Passo 5
Agora, vamos plotar os pontos calculados e traçar a curva que passa por eles:
- Para
e , → ponto mais à direita no eixo polar. - Para
e , → pontos acima e abaixo do eixo polar a uma distância de 3 unidades. - Para
, → a origem.
Ligando esses pontos e preenchendo os valores intermediários, obtemos um cardioide.
Resposta
O gráfico da função
em coordenadas polares é um cardioide simétrico em relação ao eixo polar, com ponto mais distante a 6 unidades da origem e ponto mais próximo na origem. Ele tem a forma de um coração esticado ao longo do eixo horizontal.