Apoie-se no resultado anterior para provar que o quadrilátero
é um paralelogramo se, e somente se, seus lados opostos são congruentes.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num quadrilátero
, vale
Os conceitos envolvidos são: definição de paralelogramo (lados opostos paralelos), congruência de triângulos (SSS ou ASA) e o critério de paralelismo a partir de ângulos alternos internos.
Passo 2
(Prova da implicação “
”)
Suponha que seja paralelogramo. Então
Suponha que
Desenhando a diagonal
, consideramos os triângulos
e
.
– Como , o ângulo
(entre
e
) é congruente a
(entre
e
) por serem alternos internos.
– Como , o ângulo
(entre
e
) é congruente a
(entre
e
) também por alternos internos.
– O lado é comum aos dois triângulos.
Logo, por ASA ( ,
,
), segue
– Como
– Como
– O lado
Logo, por ASA (
Passo 3
(Prova da implicação “
”)
Agora suponha e
. Nos mesmos triângulos
e
temos:
Agora suponha
Pelo critério SSS,
Dessa congruência obtemos
e
.
– Usando como transversal das retas
e
, a igualdade
implica
– Usando
– Usando
como transversal das retas
e
, a igualdade
implica
Com as duas pares de lados opostos paralelos,
é paralelogramo.
Resposta
Ficou demonstrado que
é paralelogramo se, e somente se, seus lados opostos são congruentes, isto é,