Apoie-se no resultado anterior para provar que o quadrilátero A B C D é um paralelogramo se, e somente se, seus lados opostos são congruentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num quadrilátero ABCD, vale
ABCD é para<=logramo Long<=ftrightarrow AB = CD e BC = AD é
Os conceitos envolvidos são: definição de paralelogramo (lados opostos paralelos), congruência de triângulos (SSS ou ASA) e o critério de paralelismo a partir de ângulos alternos internos.

Passo 2

(Prova da implicação “ Rightarrow”)
Suponha que ABCD seja paralelogramo. Então
AB paral<=l CD e BC paral<=l AD
Desenhando a diagonal AC, consideramos os triângulos triang<= ABC e triang<= CDA.
– Como AB paral<=l CD, o ângulo ang<= CAB (entre CA e AB) é congruente a ang<= DCA (entre DC e CA) por serem alternos internos.
– Como BC paral<=l AD, o ângulo ang<= CBA (entre CB e BA) é congruente a ang<= CDA (entre CD e DA) também por alternos internos.
– O lado AC é comum aos dois triângulos.
Logo, por ASA ( ang<= CAB = ang<= DCA, AC=CA, ang<= CBA = ang<= CDA), segue
triang<= ABC cong triang<= CDA ;Longrightarrow; AB = CD e BC = AD

Passo 3

(Prova da implicação “ Leftarrow”)
Agora suponha AB = CD e BC = AD. Nos mesmos triângulos triang<= ABC e triang<= CDA temos:
AB = CD, BC = DA, AC = CA
Pelo critério SSS,
triang<= ABC cong triang<= CDA
Dessa congruência obtemos
ang<= CAB = ang<= DCA e ang<= ACB = ang<= CAD.
– Usando AC como transversal das retas AB e CD, a igualdade ang<= CAB=ang<= DCA implica
AB paral<=l CD
– Usando AC como transversal das retas BC e AD, a igualdade ang<= ACB=ang<= CAD implica
BC paral<=l AD
Com as duas pares de lados opostos paralelos, ABCD é paralelogramo.

Resposta

Ficou demonstrado que ABCD é paralelogramo se, e somente se, seus lados opostos são congruentes, isto é,
ABCD é para<=logramo Long<=ftrightarrow AB = CD e BC = AD é

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